実数 \(x\) に対して, \(x\) 以下の最大の整数を \([x]\) で表す. 以下の問に答えよ.
(1) \(\dfrac{14}{3} \lt x \lt 5\) のとき, \(\left[ \dfrac{3}{7}x \right] -\left[ \dfrac{3}{7} [x] \right]\) を求めよ.
(2) すべての実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{2}x \right] -\left[ \dfrac{1}{2} [x] \right] =0\) を示せ.
(3) \(n\) を正の整数とする. 実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{n}x \right] -\left[ \dfrac{1}{n} [x] \right]\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\dfrac{14}{3} \lt x \lt 5\) より , \(2 \lt \dfrac{3}{7}x \lt \dfrac{15}{7}\) なので \[\begin{align} \left[ \dfrac{3}{7}x \right] -\left[ \dfrac{3}{7} [x] \right] & = 2 -\left[ \dfrac{3}{7} \cdot 4 \right] \\ & = 2 -1 = \underline{1} \end{align}\]
(2)
すべての実数 \(x\) は, ある整数 \(m\) を用いて
\(2m \leqq x \lt 2m+1\)
\(2m+1 \leqq x \lt 2m+2\)
のいずれかに属することになる.
1* \(2m \leqq x \lt 2m+1\) のとき
\(m \leqq \dfrac{x}{2} \lt m+\dfrac{1}{2}\) なので \[\begin{align} \left[ \dfrac{1}{2}x \right] -\left[ \dfrac{1}{2} [x] \right] & = m -\left[ \dfrac{1}{2} \cdot 2m \right] \\ & = m -m =0 \end{align}\]2* \(2m+1 \leqq x \lt 2m+2\) のとき
\(m +\dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{x}{2} \lt m+1\) なので \[\begin{align} \left[ \dfrac{1}{2}x \right] -\left[ \dfrac{1}{2} [x] \right] & = m -\left[ \dfrac{1}{2} \cdot (2m+1) \right] \\ & = m -m =0 \end{align}\]
以上より, 題意は示された.
(3)
すべての実数 \(x\) は, ある整数 \(m , i \ ( i = 0, 1, \cdots , n-1 )\) を用いて
\[
mn+i \leqq x \lt mn+i+1
\]
のいずれかに属することになる.
このとき, \(m +\dfrac{i}{n} \leqq \dfrac{x}{n} \lt m+\dfrac{i+1}{n}\) なので
\[\begin{align}
\left[ \dfrac{1}{n}x \right] -\left[ \dfrac{1}{n} [x] \right] & = m -\left[ \dfrac{1}{2} \cdot (nm+i) \right] \\
& = m -m = \underline{0}
\end{align}\]