\(xy\) 平面上の \(2\) 点 A \((-1, 4)\) , B \((2, 5)\) を通り, 直線 \(y = \dfrac{1}{2}x\) と共有点をもつ円を考える. 以下の問いに答えよ.
(1) この円の中心 P の軌跡を求めよ.
(2) この円の半径 \(r\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
中心 P は, 線分 AB の垂直二等分線 \(m\) 上にある. \[\begin{align} \text{AB の傾き} & : \ \dfrac{5-4}{2-(-1)} = \dfrac{1}{3} , \\ \text{AB の中点} & : \ \left( \dfrac{-1+2}{2} , \dfrac{4+5}{2} \right) = \left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{9}{2} \right) \end{align}\] なので \[ m : \ y = -3 \left( x -\dfrac{1}{2} \right) +\dfrac{9}{2} = -3x +6 \] P \(\left( p , -3p+6 \right)\) とおくと, 円の半径 \(r\) は \[\begin{align} r^2 & = ( p-2 )^2 + ( -3p+6 -5 )^2 \\ & = 10p^2 -10p +5 \quad ... [1] \end{align}\] したがって, 円の方程式は \[ \left( x-p \right)^2 +\left( y +3p -6 \right)^2 = 10p^2 -10p +5 \] これに \(y = \dfrac{1}{2}\) すなわち \(x = 2y\) を代入して \[\begin{align} \left( 2y-p \right)^2 +\left( y +3p -6 \right)^2 & = 10p^2 -10p +5 \\ 4y^2 -4py +p^2 +y^2 +6( p-2 )y +9( p-2 )^2 & = 10p^2 -10p +5 \\ \text{∴} \quad 5y^2 +2( p-6 )y -26p +31 & = 0 \end{align}\] これが実数解 \(y\) をもつ条件を求めればよいので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = ( p-6 )^2 -5( -26p +31 ) \\ & = p^2 +118p -119 \\ & = ( p-1 )( p+119 ) \geqq 0 \\ \text{∴} \quad p & \leqq -119 , 1 \leqq p \quad ... [2] \end{align}\] よって, 求める軌跡は \[ \underline{\text{半直線} : \ y = -3x +6 \ \left( x \leqq -119 , 1 \leqq x \right)} \]
(2)
[1] より \[\begin{align} r^2 & = 10p^2 -10p +5 \\ & = 10 \left( p-\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{2}{5} \end{align}\] これの [2] における最小値は \(p=1\) のときで \[ 10 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 +5 = 5 \] よって, \(r\) の最小値は \[ \underline{\sqrt{5}} \]