\(a , b\) を実数とし, \(xy\) 平面上の次の \(2\) つの関数のグラフについて考える. \[\begin{align} y & = e^{|x|} \quad ... [1] \\ y & = ax + b \quad ... [2] \end{align}\] 以下の問いに答えよ.
(1) [1] , [2] がただ \(1\) つの共有点をもつとき, \(b\) を \(a\) で表し, そのグラフを \(ab\) 平面上に図示せよ.
(2) (1) のグラフを \(b = f(a)\) と表す. 定数 \(p\) に対して, \[ pa + f(a) \] を最大にする \(a\) およびその最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
[1] は下図のようになり, \(y\) 軸について対称である.
また \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} e^{|x|} = 1 , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -0} e^{|x|} = -1 \] に注意して, 場合分けして考える.
1* \(-1 \lt a \lt 1\) のとき
条件をみたすのは \[ b = e^0 = 1 \]2* \(a \geqq 1\) のとき
条件をみたすのは, ただ \(1\) つの共有点の \(x\) 座標は正のとき.
したがって, [1] [2] より \[ e^x - ax = b \quad ... [\text{A}] \] がただ \(1\) つの解をもつ条件を求めればよい.
[A] の左辺を \(g(x)\) とおくと \[ g'(x) = e^x -a \] \(g'(x) = 0\) を解くと, \(x = \log a\) .
したがって増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} a & 0 & \cdots & \log a & \cdots \\ \hline g'(a) & & - & 0 & + \\ \hline g(a) & 1 & \searrow & a \left( 1 -\log a \right) & \nearrow \\ \end{array} \] したがって \[ b = a \left( 1 -\log a \right) \]3* \(a \leqq -1\) のとき
[1] の対称性を考えると, 2*の場合から \[ b = -a \left\{ 1 -\log (-a) \right\} \]
以上, 1* ～ 3* より \[ b = \underline{ \left\{ \begin{array}{ll} -a \left\{ 1 -\log (-a) \right\} & ( \ a \leqq -1 \text{のとき} ) \\ 1 & ( \ -1 \lt a \lt 1 \text{のとき} ) \\ a \left( 1 -\log a \right) & ( \ a \geqq 1 \text{のとき} ) \end{array} \right. } \] また, このグラフは下図
(2)
\(h(a) = pa + f(a)\) とおく.
1* \(p = 0\) のとき
\(h(a) = f(a)\) なので, \(-1 \leqq a \leqq 1\) のとき, 最大値 \(1\) をとる.2* \(p \gt 0\) のとき
\(pa\) は \(1\) 次関数で単調増加なので, \(h(a)\) が最大となるのは \(a \geqq 1\) の範囲にある. \[ h'(a) = p +1 -1 \cdot \log a - a \cdot \dfrac{1}{a} = p -\log a \] \(h(a) = 0\) を解くと, \(a = e^p\) . \[ h(1) = p+1 , \ h(e^p) = pe^p +e^p (1-p) = e^p \] なので, 増減表は下の通り. \[ \begin{array}{c|cccc} a & 1 & \cdots & e^p & \cdots \\ \hline h'(a) & & + & 0 & - \\ \hline h(a) & p+1 & \nearrow & e^p & \searrow \end{array} \] したがって, 最大値は \[ h(e^p) = e^p \]3* \(p \lt 0\) のとき
2* の場合と \(y\) 軸について対称なので, 最大値は \[ h \left( -e^{-p} \right) = e^{-p} \]
以上, 1* ～ 3* より
\(p \lt 0\) のとき, \(\underline{a = -e^{-p}}\) で, 最大値 \(\underline{e^{-p}}\)
\(p = 0\) のとき, \(\underline{-1 \leqq a \leqq 1}\) で, 最大値 \(\underline{1}\)
\(p \gt 0\) のとき, \(\underline{a = e^p}\) で, 最大値 \(\underline{e^p}\)