\(xy\) 平面上の放物線 \(y = x^2\) を \(C\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(C\) 上の点 \(( a , a^2 )\) における \(C\) の法線の方程式を求めよ.
(2) 点 \(( 1 , 2 )\) を通る \(C\) の法線の数を求めよ.
(3) 点 \(\left( t , t +\dfrac{1}{2} \right)\) を通る \(C\) の法線の数が \(2\) となるための \(t\) に対する条件を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C : \ y = x^2\) より, \(y' =2x\) . したがって, 点 \(( a , a^2 )\) を通る法線の方程式は \[\begin{align} (x-a) \cdot 1 +(y-a^2) \cdot 2a = 0 & \\ \text{∴} \quad \underline{x+2ay-2a^3-a = 0} & \quad ... [1] \end{align}\]
(2)
[1] が点 \(( 1 , 2 )\) を通るので \[\begin{align} 1+4a-2a^3-a & = 0 \\ 2a^3-3a-1 & = 0 \\ (a+1)(2a^2-2a-1) & =0 \\ \text{∴} \quad a = -1 , & \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \end{align}\] 異なる実数解を \(3\) つもつので, 法線の数は, \(\underline{3}\) .(3)
[1] が点 \(\left( t , t +\dfrac{1}{2} \right)\) を通るので \[\begin{align} t +a(2t+1) -2a^3-a & = 0 \\ 2a^3-2ta+t & = 0 \quad ... [2] \end{align}\] [2] が \(2\) つの異なる実数解をもつ条件を求めればよい. [2] の左辺を \(f(a)\) とおくと \[ f'(a) = 6a^2-2t = 6 \left( a^2-\dfrac{t}{3} \right) \]1* \(t \leqq 0\) のとき
\(f'(a) \geqq 0\) なので, \(f(a)\) は単調増加となり, \(f(a) = 0\) は \(1\) つしか実数解をもたないので, 不適.2* \(t \gt 0\) のとき \[ f'(a) = 6\left( a +\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) \left( a -\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) \] \(f'(a) = 0\) を解くと \[ a = \pm \sqrt{\dfrac{t}{3}} \] したがって, \(f(a)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} a & \cdots & -\sqrt{\dfrac{t}{3}} & \cdots & \sqrt{\dfrac{t}{3}} & \cdots \\ \hline f'(a) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(a) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] ここで, \[\begin{align} f \left( \pm \sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) & = \pm \dfrac{2t}{3}\sqrt{\dfrac{t}{3}} \mp 2t\sqrt{\dfrac{t}{3}} +t \\ & = t \left( 1 \mp \dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) \quad ( \text{複号同順} ) \end{align}\] 極大値について, \(t \gt 0\) なので, \[ f \left( -\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) = t \left( 1 +\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) \gt 0 \] となるので, [2] が \(2\) つの異なる実数解をもつ条件は, 極小値に着目して \[\begin{align} f \left( \sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) = t \left( 1 -\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{t}{3}} \right) & = 0 \\ 1 -\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{t}{3}} & =0 \\ \sqrt{\dfrac{t}{3}} & = \dfrac{3}{4}\\ \text{∴} \quad t & = \dfrac{27}{16} \end{align}\]
1*, 2*より, 求める条件は \[ \underline{t = \dfrac{27}{16}} \]