\(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) の内側を半径 \(\dfrac{1}{2}\) の円 \(D\) が \(C\) に接しながらすべらずに転がる. 時刻 \(t\) において \(D\) は点 \(( \cos t , \sin t )\) で \(C\) に接しているとする. \(D\) の周上の点 P の軌跡について考える. ある時刻 \(t _ 0\) において点 P が \(\left( \dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)\) にあり, \(D\) の中心が第 \(2\) 象限にあるとする. 以下の問に答えよ.
(1) 時刻 \(t _ 0\) における \(D\) の中心の座標を求めよ.
(2) 第 \(1\) 象限において, 点 P が \(C\) 上にあるときの P の座標を求めよ.
(3) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
【 解 答 】
(1)
時刻 \(t\) における点 P を \(\text{P}{} _ t\) , 円 \(D\) の中心を \(\text{O}{} _ t\) , 円 \(C\) と \(D\) の接点を \(\text{Q}{} _ t\) とおくと \[ \text{Q}{} _ t ( \cos t , \sin t ) , \ \text{O}{} _ t \left( \dfrac{1}{2} \cos t , \dfrac{1}{2} \sin t \right) \] \(\text{P}{} _ {t _ 0}\text{O}{} _ {t _ 0} = \dfrac{1}{2}\) なので \[\begin{align} \left( \dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{2} \cos t _ 0 \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{3}}{4} -\dfrac{1}{2} \sin t _ 0 \right)^2 & = \dfrac{1}{4} \\ ( 1 -2 \cos t _ 0 )^2 +( \sqrt{3} -2 \sin t _ 0 )^2 & = 4 \\ -4 \cos t _ 0 -2\sqrt{3} \sin t _ 0 +4 & = 0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin t _ 0 +\dfrac{1}{2} \cos t _ 0 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad \sin \left( t _ 0 +\dfrac{\pi}{6} \right) & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] \(\text{O}{} _ {t _ 0}\) は第 \(2\) 象限にあるので, \(\dfrac{\pi}{2} \lt t _ 0 \lt \pi\) なので \[ t _ 0 = \dfrac{2 \pi}{3} \] ゆえに求める座標は, \[ \underline{\left( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)} \]
(2)
第 \(1\) 象限において, \(\text{P}{} _ t = \text{Q}{} _ t\) となる時刻を \(a\) とおく. \[ \angle \text{P}{} _ {t _ 0}\text{O}{} _ {t _ 0}\text{Q}{} _ {t _ 0} =\dfrac{2 \pi}{3} , \ \overset{\frown}{\text{P}{} _ {t _ 0}\text{Q}{} _ {t _ 0}} = \overset{\frown}{\text{P}{} _ {a}\text{Q}{} _ {t _ 0}} \] 円 \(C , D\) の半径はそれぞれ, \(1 , \dfrac{1}{2}\) なので \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 \pi}{3} & = 1 \cdot \left( \dfrac{2 \pi}{3} -a \right) \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{\pi}{3} \end{align}\] よって, 求める座標は \[ \underline{\left( \dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)} \]
(3)
\(\text{P}{} _ t ( X , Y )\) とおく. \[ \angle \text{P}{} _ {\frac{\pi}{3}}\text{O}{} _ {t _ 0}\text{Q}{} _ {t _ 0} = t-\dfrac{\pi}{3} , \ \overset{\frown}{\text{P}{} _ {t}\text{Q}{} _ {t}} = \overset{\frown}{\text{P}{} _ {\frac{\pi}{3}}\text{Q}{} _ {t}} \] なので \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \angle \text{P}{} _ {t}\text{O}{} _ {t}\text{Q}{} _ {t} & = 1 \cdot \left( t -\dfrac{\pi}{3} \right) \\ \text{∴} \quad \angle \text{P}{} _ {t}\text{O}{} _ {t}\text{Q}{} _ {t} & = 2t-\dfrac{2 \pi}{3} \end{align}\] したがって, \(\text{O}{} _ t\text{P}{} _ t\) が \(x\) 軸正方向となす角は \[ t -\angle \text{P}{} _ {t}\text{O}{} _ {t}\text{Q}{} _ {t} = \dfrac{2 \pi}{3} -t \] 以上より \[\begin{align} X & = \dfrac{1}{2} \cos t +\dfrac{1}{2} \cos \left( \dfrac{2 \pi}{3} -t \right) \\ & = \cos \dfrac{\pi}{3} \cos \left( t -\dfrac{\pi}{3} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cos \left( t -\dfrac{\pi}{3} \right) \quad ... [2] , \\ Y & = \dfrac{1}{2} \sin t +\dfrac{1}{2} \sin \left( \dfrac{2 \pi}{3} -t \right) \\ & = \sin \dfrac{\pi}{3} \cos \left( t -\dfrac{\pi}{3} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos \left( t -\dfrac{\pi}{3} \right) \quad ... [3] \end{align}\] [2] [3] より \[ Y = \sqrt{3}X \ \left( -\dfrac{1}{2} \leqq X \leqq \dfrac{1}{2} \right) \] ゆえに, 点 P の軌跡は下図実線部となる.
