関数 \[ f(x) = \log \left( 1+\sqrt{1-x^2} \right) -\sqrt{1-x^2} -\log x \quad ( 0 \lt x \lt 1 ) \] について, つぎの問に答えよ.
(1) \(f'(x)\) を求めよ.
(2) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(3) 曲線 \(y = f(x)\) 上を動く点を P とする. 点 Q は, 曲線 \(y = f(x)\) の P における接線上にあり, P との距離が \(1\) で, その \(x\) 座標が P の \(x\) 座標より小さいものとする. Q の軌跡を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} \cdot \dfrac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} -\dfrac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \left( 1 -\dfrac{1}{1 +\sqrt{1-x^2}} \right) -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{x}{1 +\sqrt{1-x^2}} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{x \left( 1 -\sqrt{1-x^2} \right)}{1 -(1-x^2)} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{1 -\sqrt{1-x^2}}{x} -\dfrac{1}{x} \\ & = \underline{-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}} \end{align}\]
(2)
\[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} f(x) = \infty , \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 1} f(x) = 0 \] また, (1) の結果より \[ f'(x) \lt 0 , \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} f'(x) = -\infty , \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 1} f'(x) = 0 \] よって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.
(3)
P \(( t , f(t))\) とおく.
P における接線の方向ベクトルを \(\overrightarrow{v}\) とおくと
\[\begin{align}
\overrightarrow{v} & = \left( \begin{array}{c} 1 \\ f'(t) \end{array} \right) , \\
\left| \overrightarrow{v} \right| & = \sqrt{1+\left\{ f'(t) \right\}^2} = \dfrac{1}{t}
\end{align}\]
\(\text{PQ} = 1\) かつ Q の \(x\) 座標は P より小さいので
\[
\overrightarrow{\text{PQ}} = -\dfrac{\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{v} \right|} = \left( \begin{array}{c} -t \\ -t f'(t) \end{array} \right)
\]
よって, Q \(( X , Y )\) とおけば
\[\begin{align}
X & = t -t =0 , \\
Y & = f(t) -tf'(t) \\
& = \log \dfrac{1+\sqrt{1-t^2}}{t} \\
& = \log \left( \dfrac{1}{t} +\sqrt{\dfrac{1}{t^2}-1} \right) \\
& \gt \log \left( 1 +\sqrt{1-1} \right) = 0
\end{align}\]
よって, 求める軌跡は
\[
\underline{\text{半直線} : \ x = 0 \quad ( y \gt 0 )}
\]