\(f(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x} +2e^{x} +x\) とする. 次の問に答えよ.

1. (1)　実数 \(t\) に対して \(g(x) = tx -f(x)\) とおく. \(x\) が実数全体を動くとき, \(g(x)\) が最大値をもつような \(t\) の範囲を求めよ. また \(t\) がその範囲にあるとき, \(g(x)\) の最大値とそのときの \(x\) の値を求めよ.

2. (2)　(1) で求めた最大値を \(m(t)\) とする. \(a\) を定数とし, \(t\) の関数 \(h(t) = at -m(t)\) を考える. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(h(t)\) の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(g(x)\) を微分すると \[\begin{align} g'(x) & = t -e^{2x} -2e^x -1 \\ & = t -\left( e^x+1 \right)^2 \end{align}\] \(\left( e^x+1 \right)^2 \geqq 0\) に注意して, 場合分けして考える.

1. 1*　\(t \leqq 0\) のとき \[ g'(x) \leqq 0 \] なので, \(g(x)\) は単調減少となり, 最大値をもたない.

2. 2*　\(t \gt 0\) のとき \[\begin{align} g'(x) & = \left( \sqrt{t} \right)^2 -\left( e^x+1 \right)^2 \\ & = -\left( e^x +\sqrt{t} +1 \right) \left( e^x -\sqrt{t} +1 \right) \end{align}\] ここで, \(e^x +\sqrt{t} +1 \gt 0\) なので, \(e^x +\sqrt{t} +1\) に着目して, さらに場合分けして考える.

   1. (ア)　\(0 \lt t \leqq 1\) のとき
      \(e^x +\sqrt{t} +1 \gt 0\) より \[ g'(x) \leqq 0 \] なので, \(g(x)\) は単調減少となり, 最大値をもたない.

   2. (イ)　\(t \gt 1\) のとき
      \(g'(x) = 0\) をとくと \[\begin{align} e^x & = \sqrt{t} -1 \\ \text{∴} \quad x & = \log \left( \sqrt{t} -1 \right) \end{align}\] したがって, \(g(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccc} x & \cdots & \log \left( \sqrt{t} -1 \right) & \cdots \\ \hline g'(x) & + & 0 & - \\ \hline g(x) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} \] このとき, 最大値は \[\begin{align} g & \left( \log \left( \sqrt{t} -1 \right) \right) \\ & = t \log \left( \sqrt{t} -1 \right) -\dfrac{\left( \sqrt{t} -1 \right)^2}{2} -2 \left( \sqrt{t} -1 \right) -\log \left( \sqrt{t} -1 \right) \\ & = (t-1) \log \left( \sqrt{t} -1 \right) -\dfrac{t}{2} -\sqrt{t} +\dfrac{3}{2} \end{align}\]

以上より, 求める \(t\) の範囲は \[ \underline{t \gt 1} \] であり, このときの最大値は \[ \underline{(t-1) \log \left( \sqrt{t} -1 \right) -\dfrac{t}{2} -\sqrt{t} +\dfrac{3}{2}} \]

(2)

\(h(t)\) を微分すると \[\begin{align} h'(t) & = a -\left\{ \log \left( \sqrt{t} -1 \right) +\left( \sqrt{t} -1 \right) \cdot \dfrac{\frac{1}{2 \sqrt{t}}}{\sqrt{t} -1} -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2 \sqrt{t}} \right\} \\ & = a -\left\{ \log \left( \sqrt{t} -1 \right) +\dfrac{\left( \sqrt{t} +1 \right) -\sqrt{t} -1}{2 \sqrt{t}} \right\} \\ & = a -\log \left( \sqrt{t} -1 \right) \end{align}\] \(h'(t) = 0\) をとくと, \(t \gt 0\) なので \[\begin{align} e^a & = \sqrt{t} -1 \\ \text{∴} \quad t & = \left( e^a +1 \right)^2 \end{align}\] このとき, \(h(t)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} t & (1) & \cdots & \left( e^a +1 \right)^2 & \cdots \\ \hline h'(t) & & + & 0 & - \\ \hline h(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array} \] よって, 求める最大値は \[\begin{align} h & \left( \left( e^a +1 \right)^2 \right) \\ & = a \left( e^a +1 \right)^2 -\left[ \left\{ \left( e^a +1 \right)^2 -1 \right\} a -\dfrac{\left( e^a +1 \right)^2}{2} -\left( e^a +1 \right) +\dfrac{3}{2} \right] \\ & = a +\dfrac{1 +2 e^a +e^{2a}}{2} +e^a +1 -\dfrac{3}{2} \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} e^{2a} +2e^a +a} \end{align}\]