\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3 -ax -b\) について, 次の問に答えよ.

1. (1)　\(a \gt 0\) であるとき, \(f(x)\) の極大値と極小値を求めよ.

2. (2)　次の (i) , (ii) , (iii) を示せ.

   1. (i)　\(27b^2 -4a^3 \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ.

   2. (ii)　\(27b^2 -4a^3 = 0\) かつ \(a \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(2\) つの実数解をもつ.

   3. (iii)　\(27b^2 -4a^3 \lt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(3\) つの実数解をもつ.

【 解 答 】

(1)

条件より \[\begin{align} f'(x) & = 3 x^2 -a \\ & = \left( \sqrt{3} x +\sqrt{a} \right) \left( \sqrt{3} x -\sqrt{a} \right) \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = \pm \sqrt{\dfrac{a}{3}} \] したがって, \(f(x)\) の増減は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -\sqrt{\dfrac{a}{3}} & \cdots & \sqrt{\dfrac{a}{3}} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] よって \[\begin{align} \text{極大値} : \ f \left( -\sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) & = -\dfrac{a}{3} \sqrt{\dfrac{a}{3}} +a \sqrt{\dfrac{a}{3}} -b \\ & = \underline{\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} a^{\frac{3}{2}} -b} \\ \text{極小値} : \ f \left( \sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) & = \dfrac{a}{3} \sqrt{\dfrac{a}{3}} -a \sqrt{\dfrac{a}{3}} -b \\ & = \underline{-\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} a^{\frac{3}{2}} -b} \end{align}\]

(2)

\(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \pm \infty\) であることに注意する.

(i)

1. 1*　\(a \leqq 0\) のとき \[ f'(x) = 3x^2 -a \geqq 0 \] なので, \(f(x)\) は単調増加し, \(f(x)\) と \(x\) 軸はただ \(1\) 点を共有する.

2. 2*　\(a \gt 0\) のとき
   極大値について \[ f \left( -\sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{9} \left( \sqrt{4 a^3} -\sqrt{27 b^2} \right) \lt 0 \] ゆえに, \(f(x)\) と \(x\) 軸はただ \(1\) 点を共有する.

以上より, 題意は示された.

(ii)

極大値について \[ f \left( -\sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{9} \left( \sqrt{4 a^3} -\sqrt{27 b^2} \right) = 0 \] ゆえに, \(f(x)\) と \(x\) 軸は異なる \(2\) 点を共有する.
よって, 題意は示された.

(iii)

条件より, \(0 \leqq 27 b^2 \lt 4 a^3\) なので \[ a \gt 0 \] 極値について \[\begin{align} f \left( -\sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) f \left( \sqrt{\dfrac{a}{3}} \right) & = b^2 -\dfrac{4}{27} a^3 \\ & = \dfrac{27 b^2 -4 a^3}{27} \lt 0 \end{align}\] ゆえに, 極大値と極小値の符号が異なることから, \(f(x)\) と \(x\) 軸は異なる \(3\) 点を共有する.
よって, 題意は示された.