関数 \(f(x)\) を次の積分で定義する. \[ f(x) = \displaystyle\int _ x^{x +\log 2} \left| e^{2t} -e^t -2 \right| \, dt \] 次の問に答えよ.
(1) \(g(t) = e^{2t} -e^t -2\) のグラフを描け.
(2) \(f(x)\) を求めよ.
(3) \(f(x)\) が極値をとる \(x\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ g'(t) = 2 e^{2t} -e^t = e^t ( 2 e^t -1 ) \] \(g'(t) = 0\) をとくと \(e^t \gt 0\) なので \[\begin{align} e^t & = \dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad t & = -\log 2 \end{align}\] また \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {t \rightarrow -\infty} g(t) & = 0 -0 -2 = -2 \\ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(t) & = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} e^t \left( e^t -1 \right) -2 = \infty \\ g( -\log 2 ) & = \dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{2} -2 = -\dfrac{9}{4} \end{align}\] 以上より, \(g(t)\) の増減は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & ( -\infty ) & \cdots & -\log 2 & \cdots & ( \infty ) \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline g(t) & ( -2 ) & \searrow & -\dfrac{9}{4} & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \] よって, \(g(t)\) のグラフは下図.
(2)
\(g(t)\) の不定積分を \(G(t)\) とおくと \[\begin{align} g(t) & = \displaystyle\int \left( e^{2t} -e^t -2 \right) \, dt \\ & = \dfrac{e^{2t}}{2} -e^t -2t +C \quad ( C : \text{積分定数} ) \end{align}\]
(1) の結果を用いて, 場合分けして考える.
1* \(x \lt 0\) のとき \[\begin{align} f(x) & = -\displaystyle\int _ x^{x +\log 2} g(t) \, dt \\ & = G(x) -G( x +\log 2 ) \\ & = \left( \dfrac{e^{2x}}{2} -e^x -2x \right) -\left( 2 e^{2x} -2 e^x -2x +2 \log 2 \right) \\ & = -\dfrac{3 e^{2x}}{2} +e^x -2 \log 2 \end{align}\]
2* \(0 \leqq x \lt \log 2\) のとき \[\begin{align} f(x) & = -\displaystyle\int _ x^{\log 2} g(t) \, dt +-\displaystyle\int _ {\log 2}^{x +\log 2} g(t) \, dt \\ & = G(x) +G( x +\log 2 ) -2 G( \log 2 ) \\ & = \left( \dfrac{e^{2x}}{2} -e^x -2x \right) +\left( 2 e^{2x} -2 e^x -2x +2 \log 2 \right) \\ & \qquad -2 \left( 2 -2 -2 \log 2 \right) \\ & = \dfrac{5 e^{2x}}{2} -3 e^x -4x +2 \log 2 \end{align}\]
3* \(x \geqq \log 2\) のとき \[\begin{align} f(x) & = \displaystyle\int _ x^{x +\log 2} g(t) \, dt \\ & = \dfrac{3 e^{2x}}{2} -e^x +2 \log 2 \end{align}\]
以上より \[ f(x) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{3 e^{2x}}{2} +e^x -2 \log 2 & ( \ x \lt 0 \ \text{のとき} ) \\ \dfrac{5 e^{2x}}{2} -3 e^x -4x +2 \log 2 & ( \ 0 \leqq x \lt \log 2 \ \text{のとき} ) \\ \dfrac{3 e^{2x}}{2} -e^x +2 \log 2 & ( \ x \geqq \log 2 \ \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]
(3)
1* \(x \lt 0\) のとき \[ f'(x) = -3 e^{2x} +e^x = -e^x \left( 3 e^x -1 \right) \] \(f'(x) = 0\) をとくと \[\begin{align} e^x & = \dfrac{1}{3} \\ \text{∴} \quad x & = -\log 3 \end{align}\]
2* \(0 \leqq x \lt \log 2\) のとき \[ f'(x) = 5 e^{2x} -3 e^x -4 \] \(f'(x) = 0\) をとくと \(e^x \gt 0\) なので \[\begin{align} e^x & = \dfrac{3 +\sqrt{89}}{10} \\ \text{∴} \quad x & = \log \dfrac{3 +\sqrt{89}}{10} \end{align}\] （ \(9 \lt \sqrt{89} \lt 10\) なので, これは2*の場合をみたしている. ）
3* \(x \geqq \log 2\) のとき
\[ f'(x) = 3 e^{2x} -e^x = e^x \left( 3 e^x -1 \right) \gt 0 \] なので, \(f(x)\) は単調増加
以上より, \(f(x)\) の増減は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccc} x & \cdots & -\log 3 & \cdots & ( 0 ) & \cdots & \log \dfrac{3 +\sqrt{89}}{10} & \cdots & ( \log 2 ) & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & & - & 0 & + & & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & & \nearrow \end{array} \] よって, 極値をとる値は \[ x = \underline{-\log 3 , \ \log \dfrac{3 +\sqrt{89}}{10}} \]