O を原点とする座標平面上に \[ \text{放物線} \ C _ 1 : \ y = x^2 , \ \text{円} \ C _ 2 : \ x^2 +(y-a)^2 = 1 \quad ( a \geqq 0 ) \] がある. \(C _ 2\) の点 \(( 0 , a+1 )\) における接線と \(C _ 1\) が \(2\) 点 A , B で交わり, △OAB が \(C _ 2\) に外接しているとする. 次の問に答えよ.
(1) \(a\) を求めよ.
(2) 点 \(( s , t )\) を \(( -1 , a ) , ( 1 , a ) , ( 0 , a-1 )\) と異なる \(C _ 2\) 上の点とする. そして点 \(( s , t )\) における \(C _ 2\) の接線と \(C _ 1\) との \(2\) つの交点を P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) , Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) とする. このとき, \(( \alpha -\beta )^2 -{\alpha}^2 {\beta}^2\) は \(s, t\) によらない定数であることを示せ.
(3) (2) において, 点 P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) から \(C _ 2\) への \(2\) つの接線が再び \(C _ 1\) と交わる点を Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) , R \(( \gamma , {\gamma}^2 )\) とする. \(\beta +\gamma\) および \(\beta \gamma\) を \(\alpha\) を用いて表せ.
(4) (3) の \(2\) 点 Q, R に対し, 直線 QR は \(C _ 2\) と接することを示せ.
【 解 答 】
(1)
A \(\left( \sqrt{a+1} , a+1 \right)\) とおくことができ, 直線 OA の式は \[ y = \sqrt{a+1} x \] これと, 点 \(( 0 , a )\) の距離について考えれば \[\begin{align} \dfrac{| \sqrt{a+1} \cdot 0 -1 \cdot a |}{\sqrt{(a+1) +1}} & = 1 \\ a^2 & = a+2 \\ (a-2) (a+1) & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \underline{2} \quad ( \ \text{∵} \ a \geqq 0 \ ) \end{align}\]
(2)
\(u = \alpha +\beta\) , \(v = \alpha \beta\) とおく.
直線 PQ の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{{\alpha}^2 -{\beta}^2}{\alpha -\beta} ( x -\alpha ) +{\alpha}^2 \\
& = ( \alpha +\beta ) x -\alpha \beta = ux -v
\end{align}\]
これと, 円 \(C _ 2\) が接しているので
\[\begin{align}
\dfrac{| -2 -v |}{\sqrt{u^2 +1}} & = 1 \\
(v+2)^2 & = u^2 +1 \\
\text{∴} \quad u^2 = v^2 +4v +3
\end{align}\]
よって
\[\begin{align}
( \alpha -\beta )^2 -{\alpha}^2 {\beta}^2 & = u^2 -4v -v^2 \\
& = 3 \quad ... [1]
\end{align}\]
で, 一定となる.
(3)
(2) と同様のことが, 直線 PR についても成立するので
\[
( \alpha -\gamma )^2 -{\alpha}^2 {\gamma}^2 = 3 \quad ... [2]
\]
[1] [2] より, \(\beta , \gamma\) は方程式
\[
( \alpha -x )^2 -{\alpha}^2 x^2 = 3
\]
すなわち
\[
( 1 -{\alpha}^2 ) x^2 -2 \alpha x +{\alpha}^2 -3 = 0
\]
の異なる \(2\) つの解である.
よって, 解と係数の関係より
\[
\beta +\gamma = \underline{\dfrac{2 \alpha}{1 -{\alpha}^2}} , \ \beta \gamma = \underline{\dfrac{{\alpha}^2 -3}{1 -{\alpha}^2}}
\]
(4)
直線 PQ の式は \[ y = ( \beta +\gamma ) x -\beta \gamma \] これと, 点 \(( 0 , 2 )\) との距離 \(h\) は \[ h = \dfrac{| -2 -\beta \gamma |}{\sqrt{( \beta +\gamma )^2 +1 }} = \dfrac{| \beta \gamma +2 |}{\sqrt{( \beta +\gamma )^2 +1}} \] ここで \[\begin{align} \beta \gamma +2 & = \dfrac{{\alpha}^2 -3}{1 -{\alpha}^2} +2 = -\dfrac{1 +{\alpha}^2}{1 -{\alpha}^2} \\ ( \beta +\gamma )^2 +1 & = \dfrac{4 {\alpha}^2}{( 1 -{\alpha}^2 )^2} +1 = \left( \dfrac{1 +{\alpha}^2}{1 -{\alpha}^2} \right)^2 \end{align}\] なので \[ h = 1 \] よって, QR は円 \(C _ 2\) に接する.