関数 \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 +x^2}}\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(2) \(t \gt 0\) を媒介変数として, \(x = f'(t)\) , \(y = f(t) -t f'(t)\) で表される曲線の概形を描け.
(3) (2) の曲線の接線が \(x\) 軸と \(y\) 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
f'(x) & = \dfrac{1 \cdot \sqrt{1 +x^2} -x \cdot \frac{2x}{2 \sqrt{1 +x^2}}}{1 +x^2} \\
& = \dfrac{( 1 +x^2 ) -x^2}{( 1 +x^2 )^{\frac{3}{2}}} \\
& = \dfrac{1}{( 1 +x^2 )^{\frac{3}{2}}} \gt 0
\end{align}\]
なので, \(f(x)\) は単調増加する.
また
\[
f( -x ) = -f(x) , \quad f(0) = 0
\]
さらに
\[
f(x) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{1 +\frac{1}{x^2}}} \rightarrow \pm 1 \quad ( \ x \rightarrow \pm \infty \ \text{のとき} )
\]
以上より, \(y = f(x)\) のグラフの概形は下図.
(2)
\(x = x(t)\) , \(y = y(t)\) とあらわす.
条件より
\[\begin{align}
x(t) & = ( 1 +t^2 )^{-\frac{3}{2}} , \\
y(t) & = t ( 1 +t^2 )^{-\frac{1}{2}} -t ( 1 +t^2 )^{-\frac{3}{2}} \\
& = \{ t ( 1 +x^2 ) -t \} ( 1 +t^2 )^{-\frac{3}{2}} \\
& = t^3 ( 1 +t^2 )^{-\frac{3}{2}}
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
x'(t) & = -\dfrac{3}{2} ( 1 +t^2 )^{-\frac{5}{2}} \cdot 2t \\
& = -3t ( 1 +t^2 )^{-\frac{5}{2}} , \\
y'(t) & = 3t^2 ( 1 +t^2 )^{-\frac{3}{2}} -3 t^4 ( 1 +t^2 )^{-\frac{5}{2}} \\
& = 3t^2 \{ ( 1 +t^2 ) -t^2 \} ( 1 +t^2 )^{-\frac{5}{2}} \\
& = 3t^2 ( 1 +t^2 )^{-\frac{5}{2}}
\end{align}\]
これらより
\[\begin{align}
y'(t) & = -t x'(t) \\
\text{∴} \quad \dfrac{dy}{dx} & = -t \quad ... [1]
\end{align}\]
したがって, 求める曲線は単調減少する.
さらに
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} x(t) & = 1 , \ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} y(t) = 0 , \
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{dy}{dx} = 0 , \\
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} x(t) & = 0 , \ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} y(t) = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\left( 1 +\frac{1}{t^2} \right)^{\frac{3}{2}}} = 1 , \\
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{dy}{dx} & = -\infty
\end{align}\]
に注意すれば, 求める曲線は下図の通りである（○は含まない）.
(3)
点 \(( x(t) , y(t) )\) における接線の式は, [1] より \[\begin{align} y & = -t \left( x -f'(t) \right) +f(t) -t f'(t) \\ & = -tx +f(t) \end{align}\] この式について
\(x = 0\) のとき \[ y = f(t) \]
\(y = 0\) のとき \[ x = \dfrac{f(t)}{t} \]
したがって, 接線が \(x\) 軸と \(y\) 軸に切り取られてできる線分の長さ \(P\) は \[\begin{align} P & = \left\{ f(t) \right\}^2 +\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\}^2 \\ & = \dfrac{t^2}{1 +t^2} +\dfrac{1}{1 +t^2} \\ & = 1 \end{align}\] よって, 題意は示された.