\(N\) を \(3\) 以上の自然数とする.
\(1\) から \(N\) までの数字が書かれた \(N\) 枚のカードを用意し, A と B の二人で次のようなゲームを行う.
まず A が , \(1\) から \(N\) までの数のうちから \(1\) つを選びそれを \(K\) とし, その数は B に知らせずにおく. その後, 以下の試行を何度も繰り返す.
B は \(N\) 枚のカードから無作為に一枚引いて A にその数を伝え, A は引かれた数字が \(K\) より大きければ「上」, \(K\) 以下であれば「以下」と B に答え, B はその答から \(K\) の範囲を絞り込む. 引いたカードは元へ戻す.
このとき, \(n\) 回以下の試行で B が \(K\) を確定できる確率を \(P _ N (n)\) で表す. 次の問に答えよ.
(1) \(K = 1\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(2) \(K = 2\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(3) \(K = 1, 2, \cdots , N\) について, \(P _ N (n)\) を求めよ.
(4) 自然数 \(c\) に対して, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {N \rightarrow \infty}P _ N (cN)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
B が \(1\) を引けば, \(K\) を確定できるので \[\begin{align} P _ 3 (1) & = \underline{\dfrac{1}{3}} , \\ P _ 3 (2) & = 1 -\left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \underline{\dfrac{5}{9}} , \\ P _ 3 (3) &= 1 -\left( \dfrac{2}{3} \right)^3 = \underline{\dfrac{19}{27}} \end{align}\]
(2)
B が \(2\) と \(3\) を引けば, \(K\) を確定できるので \[\begin{align} P _ 3 (1) & = \underline{0} , \\ P _ 3 (2) & = 1 -2 \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 +\left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \\ & = 1 -\dfrac{8}{9} +\dfrac{1}{9} = \underline{\dfrac{2}{9}} , \\ P _ 3 (3) & = 1 -2 \left( \dfrac{2}{3} \right)^3 +\left( \dfrac{1}{3} \right)^3 \\ & = 1 -\dfrac{16}{27} +\dfrac{1}{27} = \underline{\dfrac{4}{9}} \end{align}\]
(3)
\(K = 1\) のとき, (1) と同様に, B が \(1\) を引けばよいので \[ P _ N (n) = 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^n \]
\(K = 2, \cdots N-1\) のとき, (2) と同様に, B が \(K\) と \(K+1\) を引けばよいので \[ P _ N (n) = 1 -2 \left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^n +\left( 1 -\dfrac{2}{N} \right)^n \]
\(K = N\) のとき, B が \(N\) を引けば, \(K\) を確定できるので \[ P _ N (n) = 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^n \]
以上より, 求める確率は \[ P _ N (n) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^n & ( \ K = 1 , N \text{のとき} \ ) \\ 1 -2 \left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^n +\left( 1 -\dfrac{2}{N} \right)^n & ( \ K = 2 , \cdots , N-1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(4)
1* \(K = 1 , N\) のとき
\[\begin{align} P _ N (cN) & = 1 -\left\{ \left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^{-N} \right\}^{-c} \\ & \rightarrow 1 -e^{-c} \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} \ ) \end{align}\]2* \(K = 2 , \cdots , N-1\) のとき
\[\begin{align} P _ N (cN) & = 1 -2 \left\{ \left( 1 -\dfrac{1}{N} \right)^{-N} \right\}^{-c} +\left\{ \left( 1 -\dfrac{2}{N} \right)^{-\frac{N}{2}} \right\}^{-2c} \\ & \rightarrow 1 -2e^{-c} +e^{-2c} \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} \ ) \end{align}\]
以上より, 求める極限値は \[ \displaystyle\lim _ {N \rightarrow \infty}P _ N (cN) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -e^{-c} & ( \ K = 1 , N \text{のとき} \ ) \\ 1 -2e^{-c} +e^{-2c} & ( \ K = 2 , \cdots , N-1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]