\(a \gt 0\) とする. \(xy\) 平面上に点 A \(( -\sqrt{2} a , 0 )\) , B \(( \sqrt{2} a , 0 )\) を固定する. 動点 P \(( x , y )\) は条件 \(\text{AP} +\text{BP} = 4a\) をみたすものとする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ. ただし, 答のみでよい.
(2) (1) の曲線の \(-\sqrt{2} a \leqq x \leqq \sqrt{2} a\) の部分と, 直線 \(x = -\sqrt{2} a\) , 直線 \(x = \sqrt{2} a\) で囲まれる図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を考える. この立体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) (2) の立体の表面積 \(S\) を求めよ. ここで, \(y = f(x)\) のグラフの \(p \leqq x \leqq q\) の部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる曲面の面積は \[ 2 \pi \displaystyle\int _ p^q \sqrt{\{ f(x) \}^2 +\{ f(x) f'(x) \}^2} \, dx \] として計算してよい.
【 解 答 】
(1)
条件より, P の軌跡は A , B を焦点とする楕円であり, 長径は \[ \dfrac{4a}{2} = 2a \] 短径は \[ \sqrt{(2a)^2 -( \sqrt{2} a )^2} = \sqrt{2} a \] ゆえに, 求める式は \[\begin{align} \dfrac{x^2}{( 2a )^2} +\dfrac{y^2}{( \sqrt{2} a )^2} & = 1 \\ \text{∴} \quad \underline{x^2 +2y^2 = 4a^2} & \quad ... [1] \end{align}\]
(2)
対称性から, \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) の領域を回転させる場合を考えればよい.
求める体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{\sqrt{2} a} \dfrac{1}{2} ( 4a^2 -x^2 ) \, dx \\
& = \pi \left[ 4a^2 x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^{\sqrt{2} a} \\
& = \pi \left( 4 \sqrt{2} a^3 -\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} a^3 \right) \\
& = \underline{\dfrac{10 \sqrt{2} \pi}{3} a^3}
\end{align}\]
(3)
[1] について, \(x\) で微分すると \[\begin{align} 2x +4y y' & = 0 \\ \text{∴} \quad y y' & = -\dfrac{x}{2} \end{align}\] これを用いれば, 求める表面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = 2 \cdot 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{\sqrt{2} a} \sqrt{\dfrac{1}{2} \left( 4a^2 -x^2 \right) +\left( -\dfrac{x}{2} \right)^2} \, dx +2 \cdot a^2 \pi \\ & = 2 \pi \underline{\displaystyle\int _ 0^{\sqrt{2} a} \sqrt{8a^2 -x^2} \, dx} _ {[2]} +2 a^2 \pi \end{align}\] ここで下線部 [2] は, 下図斜線部の面積を表すので
\[\begin{align} [2] & = \dfrac{1}{2} \cdot ( 2 \sqrt{2} a )^2 \cdot \dfrac{\pi}{6} +\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a \cdot \sqrt{6} a \\ & = \left( \dfrac{2 \pi}{3} +\sqrt{3} \right) a^2 \end{align}\] よって \[\begin{align} S & = 2 \pi \left( \dfrac{2 \pi}{3} +\sqrt{3} \right) a^2 +2 a^2 \pi \\ & = \underline{2 \pi \left( \dfrac{2 \pi}{3} +\sqrt{3} +1 \right) a^2} \end{align}\]