\(xy\) 平面上に, 直線 \(\ell : \ \dfrac{x}{a} +\dfrac{y}{b} = 1\) がある. ただし, \(a , b\) は正の定数である. 曲線 \(C : \ \dfrac{x^2}{u^2} +\dfrac{y^2}{v^2} = 1\) がつねに \(\ell\) に接しているように正の実数 \(u , v\) を変化させる. \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに回転してできる立体の体積を \(V\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(v^2\) を \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(V\) の最大値を, \(a , b\) を用いて表せ. また, そのときの \(C\) の方程式を \(a , b\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) 上の点 P \((p,q)\) における接線の式は \[ \dfrac{px}{v^2} +\dfrac{qy}{u^2} = 1 \] これと \(\ell\) の式と比較して \[\begin{align} \dfrac{p}{v^2} = \dfrac{1}{a} & , \ \dfrac{q}{u^2} = \dfrac{1}{b} \\ \text{∴} \quad p = \dfrac{v^2}{a} & , \ q = \dfrac{u^2}{b} \quad ... [1] \end{align}\] また, 点 P は \(C\) 上にあるので, [1] を用いて \[\begin{gather} \dfrac{\left( \frac{v^2}{a} \right)^2}{u^2} +\dfrac{\left( \frac{u^2}{b} \right)}{v^2} = 1 \\ \dfrac{v^2}{a^2} +\dfrac{u^2}{b^2} = 1 \\ \text{∴} \quad v^2 = \underline{b^2 \left( 1 -\dfrac{u^2}{a^2} \right)} \end{gather}\]
(2)
\(u\) の取りうる値の範囲は, \(0 \lt u \lt a\) .
回転体は, 半径 \(v\) の球を \(x\) 軸方向に \(\dfrac{u}{v}\) 倍した立体なので
\[\begin{align}
V & = \dfrac{4 \pi v^3}{3} \cdot \dfrac{u}{v} \\
& = \dfrac{4 \pi}{3} u \cdot b^2 \left( 1 -\dfrac{u^2}{a^2} \right) \\
& = \dfrac{4 \pi b^2}{3 a^2} \underline{u ( a^2-u^2 )} _ {[ \text{A} ]}
\end{align}\]
[A] を \(f(u)\) とおいて, \(f(u)\) が最大のときを考えればよい.
\[\begin{align}
f'(u) & = a^2 -3u^2 \\
& = \left( a +\sqrt{3} u \right) \left( a -\sqrt{3} u \right)
\end{align}\]
\(f'(u) = 0\) をとくと
\[
u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}
\]
したがって, \(f(u)\) の増減は下表のとおりで
\[
\begin{array}{c|ccccc} u & (0) & \cdots & \frac{a}{\sqrt{3}} & \cdots & (a) \\ \hline f'(u) & & + & 0 & - & \\ \hline f(u) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
最大値は
\[\begin{align}
f \left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right) & = \dfrac{a}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2 a^2}{3} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{9}
\end{align}\]
よって, 求める最大値は
\[
\dfrac{4 \pi b^2}{3 a^2} f \left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right) = \underline{\dfrac{8 \sqrt{3} \pi ab^2}{27}}
\]
このとき, (1) の結果より
\[\begin{align}
v^2 & = b^2 \left( 1-\dfrac{1}{a^2} \cdot \dfrac{a^2}{3} \right) \\
& = \dfrac{2 b^2}{3}
\end{align}\]
よって, \(C\) の方程式は
\[
\underline{\dfrac{3 x^2}{a^2} +\dfrac{3 y^2}{2 b^2} = 1}
\]