\(xy\) 平面上に \(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 & : \ y = x^2 \\ C _ 2 & : \ y = 2(x-1)^2 +3 \\ C _ 3 & : \ y = -(x-a)^2+b \quad ( \ a , b \text{は実数} ) \end{align}\] がある. \(C _ 2\) と \(C _ 3\) はただ \(1\) つの点を共有している. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(C _ 1 , C _ 2\) は共有点をもたないことを示せ.

2. (2)　\(b\) を \(a\) の式で表せ.

3. (3)　\(C _ 1\) と \(C _ 3\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(C _ 1 , C _ 2\) の式より \(y\) を消去すると \[\begin{gather} x^2 =2(x-1)^2 +3 \\ \text{∴} \quad x^2 -4x+5 & = 0 \quad ... [1] \end{gather}\] [1] の判別式を \(D _ 1\) とおけば \[ \dfrac{D _ 1}{4} = 2^2 -1 \cdot 5 = -1 \lt 0 \] よって, [1]は実数解をもたず, 題意は示された.

(2)

\(C _ 2 , C _ 3\) の式より \(y\) を消去すると \[\begin{gather} 2(x-1)^2 +3= -(x-a)^2+b \\ \text{∴} \quad 3x^2 -2(a+2)x +a^2-b+5 = 0 \quad ... [2] \end{gather}\] [2] が重解をもつので, 判別式を \(D _ 2\) とおくと \[\begin{align} \dfrac{D _ 2}{4} = (a+2)^2 -3(a^2-b+5) & = 0 \\ -2a^2 +4a -11 +3b & = 0 \\ \text{∴} \quad = \underline{\dfrac{2a^2-4a+11}{3}} & \end{align}\]

(3)

\(C _ 1 , C _ 3\) の式より \(y\) を消去すると \[\begin{gather} x^2 = -(x-a)^2+b \\ \text{∴} \quad 2x^2 -2ax +a^2 -b = 0\quad ... [3] \end{gather}\] [3] の判別式を \(D _ 3\) とおくと \[\begin{align} \dfrac{D _ 3}{4} & = a^2 -2(a^2-b) =-a^2 +2b \\ & = \dfrac{1}{3} \left( a^2-8a+22 \right) \\ & = \dfrac{1}{3} \left\{ (a-4)^2 +6 \right\} \gt 0 \end{align}\] なので, [3] は異なる \(2\) つの実数解をもち, \(C _ 1\) と \(C _ 3\) は異なる \(2\) つの交点をもつ.
これらの \(x\) 座標を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおくと, 解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = 2a , \ \alpha \beta = a^2-b \] これらを用いれば \[\begin{align} S(a) & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} \left\{ x^2 +(x-a)^2 -b \right\} \, dx \\ & = \dfrac{1}{3} \left| \beta -\alpha \right|^3 \\ & = \dfrac{1}{3} \left| (2a)^2 -4 \left( a^2-b \right) \right|^{\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{1}{27} \left| 2a^2-4a+11 \right|^{\frac{3}{2}} \\ & = \dfrac{1}{27} \left\{ 2(a-1)^2+9 \right\}^{\frac{3}{2}} \end{align}\] よって, \(S(a)\) を最小にする \(a\) の値は \[ a = \underline{2} \]