原点を O とする \(xy\) 平面上に, \(2\) 直線 \[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y =mx \\ \ell _ 2 & : \ y = -mx \end{align}\] がある. ただし, \(m \gt 1\) とする. \(\ell _ 1\) 上に点 P \(( s, ms )\) , \(\ell _ 2\) 上に点 Q \(( t, -mt )\) を \(s \neq 0 , \ t \neq 0\) となるようにとる. P を通り \(\ell _ 1\) に垂直な直線と, Q を通り \(\ell _ 2\) に垂直な直線の交点を R とする. 次の問いに答えよ.
(1) R の座標を求めよ.
(2) PQ と OR が平行となるように, P , Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y = -\dfrac{1}{m} (x-s) +ms = -\dfrac{x}{m} +\dfrac{s}{m} +ms , \\ \ell _ 2 & : \ y = \dfrac{1}{m} (x-t) -mt = \dfrac{x}{m} -\dfrac{t}{m} -mt \end{align}\] なので, \(2\) 式から \(y\) を消去して, 両辺 \(m\) 倍すると \[\begin{gather} -x +s +m^2s = x -t -m^2t \\ \text{∴} \quad x = \dfrac{(s+t)(m^2+1)}{2} \end{gather}\] なので \[\begin{align} y & = \dfrac{s+t}{2} \left( m+\dfrac{1}{m} \right) -\dfrac{t}{m} -mt \\ & = \dfrac{(s-t)(m^2+1)}{2m} \end{align}\] よって, R の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{(s+t)(m^2+1)}{2} , \dfrac{(s-t)(m^2+1)}{2m} \right)} \]
(2)
R \((X, Y)\) とおくと, (1) の結果より \[ X = \dfrac{(s+t)(m^2+1)}{2} , \ Y =\dfrac{(s-t)(m^2+1)}{2m} \quad ... [1] \] PQ の傾きは \[ \dfrac{ms+mt}{s-t} = \dfrac{m(s+t)}{s-t} \] OR の傾きは \[ \dfrac{\frac{s-t}{m}}{s+t} = \dfrac{s-t}{m(s+t)} \] したがって \[\begin{align} \dfrac{m(s+t)}{s-t} & = \dfrac{s-t}{m(s+t)} \\ m^2 (s+t)^2 & = (s-t)^2 \\ (s+t)^2 & = \dfrac{(s-t)^2}{m^2} \end{align}\] 両辺を \(\dfrac{m^2+1}{4}\) 倍すれば, [1] より \[\begin{gather} X^2 = Y^2 \\ \text{∴} \quad (X+Y)(X-Y) = 0 \end{gather}\] \(s \neq 0\) , \(t \neq 0\) より, \(X \neq 0\) であることに注意すれば, 求める軌跡は \[ \underline{\text{直線} : \ y = \pm x \quad ( \text{ただし, 点} (0,0) \text{を除く} )} \]