\(xy\) 平面上に曲線 \(C : \ y = x^2\) がある. \(C\) 上の点 P \(( t , t^2 )\) を次の条件 (＊) をみたすようにとる.
- (＊) P 以外の \(C\) 上の異なる \(2\) 点 Q , R があり, そこでの \(C\) の法線がともに P を通る.
\(\text{Q} \ ( \alpha , \alpha^2 ) , \ \text{R} \ ( \beta , \beta^2 ) \quad ( \alpha \lt \beta )\) とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(t\) の取り得る値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 線分 QR の中点 M が描く軌跡の方程式を求めよ.
(3) \(\beta\) を \(t\) の式で表し, 極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} t \beta\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 \(( p , p^2 ) \ ( p \neq t )\) における \(C\) の法線の式は
\[
y = -\dfrac{1}{2p} (x-p) +p^2
\]
これが点 \(( t , t^2 )\) を通るので
\[\begin{align}
t^2 =-\dfrac{t-p}{2p} & +p^2 \\
2p (t-p)(t+p) & = -(t-p) \\
\text{∴} \quad ( t-p )( \underline{2p^2 +2tp +1} ) & = 0
\end{align}\]
これが, \(p \neq t\) である異なる \(2\) つの実数解をもてばよい.
下線部を \(f(p)\) とおくと,
\[
f(t) = 4t^2 +1 \gt 0
\]
なので, \(f(p) =0\) は \(p = t\) を解にもつことはないため, \(f(p) = 0\) が異なる \(2\) つの実数解を持てばよく, 判別式 \(D\) について
\[\begin{align}
\dfrac{D}{4} & = t^2 -2 >0 \\
\text{∴} \quad & \underline{t \lt -\sqrt{2} , \sqrt{2} \lt t}
\end{align}\]
(2)
\(\alpha , \beta\) は \(f(p) =0\) の \(2\) 解なので, 解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = -t , \ \alpha \beta = \dfrac{1}{2} \] したがって, PQ の中点 M \(( X , Y )\) とおくと \[\begin{align} X = \dfrac{\alpha +\beta}{2} & = -\dfrac{t}{2} \\ \text{∴} \quad t & = -2X \end{align}\] これを用いれば \[\begin{align} Y & = \dfrac{\alpha^2 +\beta^2}{2} \\ & = \dfrac{(-t)^2 -2 \cdot \frac{1}{2}}{2} \\ & = 2X^2 -\dfrac{1}{2} \end{align}\] また, (1) の結果より \[\begin{align} -2X \lt -\sqrt{2} & , \sqrt{2} \lt -2X \\ \text{∴} \quad -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \lt X \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\] よって, 求める軌跡の方程式は \[ \underline{y = 2x^2 -\dfrac{1}{2} \quad \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt x \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)} \]
(3)
\[ \beta = \underline{\dfrac{-t +\sqrt{t^2 -2}}{2}} \] なので \[\begin{align} t \beta & = \dfrac{t \left( \sqrt{t^2 -2} -t \right)}{2} \\ & = \dfrac{-2t}{2 \left( t +\sqrt{t^2 -2} \right)} \\ & = -\dfrac{1}{1 +\sqrt{1 +\frac{2}{t^2}}} \\ & \rightarrow -\dfrac{1}{2} \quad ( \ t \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} t \beta = \underline{-\dfrac{1}{2}} \]