赤, 青, 黄の \(3\) 色を用いて, 横一列に並んだ \(n\) 個のマスを, 隣り合うマスは異なる色になるように塗り分ける. ただし, 使わない色があってもよい. 両端のマスが同じ色になる場合の数を \(a _ n\) とし, 両端のマスが異なる色になる場合の数を \(b _ n\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a _ 3 , b _ 3 , a _ 4 , b _ 4\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ n , b _ n \ ( n \geqq 3 )\) を \(n\) の式で表せ.

【 解 答 】

(1)

一般の自然数 \(n\) について考える. \[ a _ 1 =3 , \ b _ 1 =0 , \ a _ 2 = 0 , \ b _ 2 = 6 \quad ... [1] \] \(n\) 個のマスが並ぶ列に, その右端に \(1\) つのマスを加えて \(n+1\) 個のマスの列を作ることを考える.

1. 1*　両端が同じ色になる場合
   両端が異なる色の列に, 左端と同じ色のマスを加えればよいので \[ a _ {n+1} = b _ n \quad ... [2] \]

2. 2*　両端が異なる色になる場合
   以下のいずれかの方法をとればよい.

   • 両端が異なる色の列に, 左端, 右端のどちらでもない色のマスを加える.

   • 両端が同じ色の列に, 異なる \(2\) 色のいずれかの色のマスを加える.

   ゆえに \[ b _ {n+1} = 2a _ n +b _ n \quad .... [3] \]

以上より, [2] [3] より \[\begin{align} & a _ {n+2} -a _ {n+1} -2a _ n = 0\\ \text{∴} \quad & \left\{ \begin{array}{l} a _ {n+2} -2a _ {n+1} = -\left( a _ {n+1} -2a _ n \right) \\ a _ {n+2} +a _ {n+1} = 2 \left( a _ {n+1} +a _ n \right) \end{array} \right. \end{align}\] したがって, [1] も用いれば

• \(\{ a _ {n+1} -2a _ n \}\) は初項 \(a _ 2 -2a _ 1 = -6\) , 公比 \(-1\) の等比数列

• \(\{ a _ {n+1} +a _ n \}\) は初項 \(a _ 2 +a _ 1 = 3\) , 公比 \(2\) の等比数列

なので \[\begin{align} a _ {n+1} -2a _ n & = -6 (-1)^{n-1} = 6 \left( -1 \right)^n \quad ... [4] \\ a _ {n+1} +a _ n & = 3 \cdot 2^{n-1} \quad ... [5] \end{align}\] よって, \(\dfrac{[5] -[4]}{3}\) より \[ a _ n = \dfrac{3 \cdot 2^{n-1} -6 (-1)^n}{3} = 2^{n-1} +2 (-1)^{n-1} \] また \[ b _ n = a _ {n+1} = 2^n +2 (-1)^n \] よって \[\begin{align} a _ 3 = 2^2 +2 = \underline{6} & , \ b _ 3 = 2^3 -2 = \underline{6} \\ a _ 4 = b _ 3 = \underline{6} & , \ b _ 4 = 2^4 +2 = \underline{18} \end{align}\]

(2)

\[ a _ n = \underline{2^{n-1} +2 (-1)^{n-1}} , \ b _ n = \underline{2^n +2 (-1)^n} \]