次の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt x \lt \pi\) のとき, \[ \sin x -x \cos x \gt 0 \] を示せ.
(2) 定積分 \[ I = \displaystyle\int _ 0^\pi \left| \sin x - ax \right| \, dx \quad ( 0 \lt a \lt 1 ) \] を最小にする \(a\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = \sin x -x \cos x\) とおく. \[ f'(x) = \cos x -\cos x +x \sin x = x \sin x \] \(0 \lt x \lt \pi\) において \(f'(x) \gt 0\) なので, \(f(x)\) は単調増加するから \[ f(x) \gt f(0) = 0 \] よって \[ \sin x -x \cos x \gt 0 \]
(2)
\(0 \lt a \lt 1\) のとき, \(0 \lt x \lt \pi\) において \(y = \sin x\) と \(y = ax\) は \(1\) つの交点をもつ.
この交点の \(x\) 座標を \(p\) とおく.
\[\begin{align}
\sin p & = ap \\
\text{∴} \quad a & = \dfrac{\sin p}{p} \quad ... [1]
\end{align}\]
これを用いると
\[\begin{align}
I & = \displaystyle\int _ 0^p ( \sin x -ax ) \, dx + \displaystyle\int _ p^{\pi} ( ax -\sin x ) \, dx \\
& = \left[ -\cos x -\dfrac{ax^2}{2} \right] _ 0^p + \left[ \cos x +\dfrac{ax^2}{2} \right] _ p^{\pi} \\
& = -2 \left( \cos p +\dfrac{ap^2}{2} \right) +1 -1 +\dfrac{a {\pi}^2}{2} \\
& = -2 \cos p -p \sin p +\dfrac{{\pi}^2}{2} \cdot \dfrac{\sin p}{p}
\end{align}\]
ゆえに
\[\begin{align}
\dfrac{dI}{dp} & = 2 \sin p -\sin p -p \cos p +\dfrac{{\pi}^2}{2} \cdot \dfrac{p \cos p -\sin p}{p^2} \\
& = \left( 1 -\dfrac{{\pi}^2}{2p} \right) ( \sin p -p \cos p )
\end{align}\]
\(0 \lt p \lt \pi\) なので, (1) の結果より
\[
\sin p -p \cos p \gt 0
\]
したがって, \(\dfrac{dI}{dp}= 0\) を解くと
\[\begin{align}
\dfrac{{\pi}^2}{2p^2} & = 1 \\
\text{∴} \quad p & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2}
\end{align}\]
\(I\) の増減表は下表のとおり.
\[
\begin{array}{c|ccccc} p & 0 & \cdots & \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline \frac{dI}{dp} & & - & 0 & + & \\ \hline I & & \searrow & \text{最小} & \nearrow & \\ \end{array}
\]
ゆえに, \(p = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2}\) のとき \(I\) は最小となり, 求める \(a\) の値は
\[
a = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{\pi} \sin \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2}}
\]