\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3-3x^2-4x+k\) について, 次の問いに答えよ. ただし, \(k\) は定数とする.
(1) \(f(x)\) が極値をとるときの \(x\) を求めよ.
(2) 方程式 \(f(x)=0\) が異なる \(3\) つの整数解をもつとき, \(k\) の値およびその整数解を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = 3x^2-6x-4 \\ & = \left( x-\dfrac{3-\sqrt{21}}{3} \right) \left( x-\dfrac{3+\sqrt{21}}{3} \right) \end{align}\] \(f'(x)=0\) を解くと \[ x = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{3} \] したがって, \(f(x)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & \dfrac{3 -\sqrt{21}}{3} & \cdots & \dfrac{3 +\sqrt{21}}{3} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] よって, 極値をとるのは \[ x = \underline{\dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{3}} \]
(2)
\(f(x)=0\) が \(3\) つの整数解をもつには, \(\dfrac{3 -\sqrt{21}}{3} \lt x \lt \dfrac{3 +\sqrt{21}}{3}\) に \(1\) つの整数解をもつ必要がある.
\(4 \lt \sqrt{21} \lt 5\) なので, 整数解の候補は
\[
x = 0 , 1 , 2
\]
1* \(x = 0\) が解のとき \[ f(0) = k = 0 \] このとき \[\begin{align} f(x) & = x^3-3x^2-4x \\ & = x(x+1)(x-4) \end{align}\] なので, その他の解は, \(x= -1 , 4\) でともに整数である.
2* \(x = 1\) が解のとき \[\begin{gather} f(1) = 1-3-4+k = k-6 = 0 \\ \text{∴} \quad k = 6 \end{gather}\] このとき \[\begin{align} f(x) & = x^3-3x^2-4x+6 \\ & = (x-1)(x^2-2x-6) \end{align}\] なので, その他の解は, \(x= 1 \pm\sqrt{7}\) で整数でなく, 不適.
3* \(x = 2\) が解のとき \[\begin{gather} f(2) = 8-12-8+k = k-12 = 0 \\ \text{∴} \quad k = 12 \end{gather}\] このとき, \[\begin{align} f(x) & = x^3-3x^2-4x+12 \\ & = (x-2)(x+2)(x-3) \end{align}\] なので, その他の解は, \(x= -2 , 3\) でともに整数である.
1* ～ 3* より, 求める \(k\) の値と整数解は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} k = 0 \ \text{のとき} \quad & x = -1 , 0 , 4 \\ k = 12\ \text{のとき} \quad & x = -2 , 2 , 3 \end{array} \right.} \]