次の問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\big| \cos x \big| = \sin x\) を満たす \(x\) を求め, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x )\) , \(\cos ( \sin x )\) の大小を比較せよ.

2. (2)　\(\alpha \geqq 0\) , \(\beta \geqq 0\) , \(\alpha +\beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のとき, \(\cos \alpha \gt \sin \beta\) となることを示し, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x ) \gt \sin ( \sin x )\) を示せ.

【 解 答 】

(1)

\(\big| \cos x \big| = \sin x\) より \[\begin{gather} \cos x = \pm \sin x \\ \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos x \mp \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = 0 \\ \text{∴} \quad \cos \left( x \pm \dfrac{\pi}{4} \right) = 0 \end{gather}\] \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, これを解けば \[ x = \underline{\dfrac{\pi}{4} , \dfrac{3 \pi}{4}} \] 続いて, \(\cos ( \cos x )\) , \(\cos ( \sin x )\) の大小を比較する.
\(\cos (-x) = \cos x\) であり, \(0 \leqq x \leqq 1\) において, \(\cos x\) は単調減少するので, \(\big| \cos x \big|\) , \(\sin x\) の大小を比較すればよい.
したがって, \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \cos ( \cos x ) \lt \cos ( \sin x ) & \ \left( 0 \leqq x \lt \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{3 \pi}{4} \lt x \leqq \pi \text{のとき} \right) \\ \cos ( \cos x ) = \cos ( \sin x ) & \ \left( 0 \leqq x = \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{3 \pi}{4} \text{のとき} \right) \\ \cos ( \cos x ) \gt \cos ( \sin x ) & \ \left( \dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{3 \pi}{4} \text{のとき} \right) \end{array} \right. } \]

(2)

条件より \[ \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} -\beta \] \(0 \leqq \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \leqq \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) なので \[ \cos \alpha \gt \cos \left( \dfrac{\pi}{2} -\beta \right) = \sin \beta \quad ... [1] \] また \[ \cos x +\sin x = \sqrt{2} \sin \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right) \lt \sqrt{2} \lt \dfrac{\pi}{2} \] なので, [1] を用いれば, \[ \cos ( \cos x ) \gt \sin ( \sin x ) \]