\(xy\) 平面上に直線 \(l\) がある. 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換 \(f\) は, 次の (i) , (ii) , (iii) を満たす.
(i) 平面の点の \(f\) による像はすべて \(l\) 上にある.
(ii) \(f\) は \(l\) の点をすべて原点に移す.
(iii) 点 P が円 \(x^2-2x+y^2-2y+1=0\) 上を動くとき, \(f\) による P の像の \(x\) 座標は最大値 \(1+\sqrt{5}\) , 最小値 \(1-\sqrt{5}\) をとる.
次の問いに答えよ.
(1) \(A\) を求めよ. また \(l\) の方程式を求めよ.
(2) (iii) で最大値 \(1+\sqrt{5}\) をとるときの P の座標を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件 (i) について, 点 \(( x , y )\) は \(f\) によって
\[
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ax+by \\ cx+dy \end{array} \right)
\]
に移る.
これが直線 \(l : \ px+qy+r = 0\) 上の点なので
\[\begin{align}
p( ax+by ) +q( cx+dy ) +r & = 0 \\
\text{∴} \quad ( ap+cq )x +( bp+dq )y +r & = 0
\end{align}\]
これが任意の \(x , y\) について成立するので
\[
\left\{ \begin{array}{ll} ap+cq =0 & ... [1] \\ bp+dq =0 & ... [2] \\ r =0 & ... [3] \end{array} \right.
\]
[3] より, 直線 \(l\) は原点を通る直線となる.
条件 (iii) について, 円の方程式は
\[
(x-1)^2+(y-1)^2 = 1
\]
なので, 点 P は \(( 1+\cos \theta , 1 +\sin \theta )\) と表せる.
この点は \(f\) によって,
\[\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 +\cos \theta \\ 1 +\sin \theta \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} a+b +a \cos \theta +b \sin \theta \\ c+d +c \cos \theta +d \sin \theta \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{c} a+b +\sqrt{a^2+b^2} \sin ( \theta +\alpha ) \\ c+d +\sqrt{c^2+d^2}\sin ( \theta +\beta ) \end{array} \right)
\end{align}\]
に移る. ただし
\[
\begin{array}{l} \sin \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} , \ \cos \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin \beta = \dfrac{c}{\sqrt{c^2+d^2}} , \ \cos \beta = \dfrac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} \end{array} \quad ... [4]
\]
この \(x\) 座標の最大値, 最小値から
\[\begin{align}
a+b = 1 & , \ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5} \\
\text{∴} \quad ( a , b ) & = ( 2 , -1 ) , ( -1 , 2 )
\end{align}\]
条件 (ii) について, \(q=0\) すなわち \(l : \ x = 0\) と仮定すると, \(l\) 上の点 \(( 0 , t )\) は \(f\) によって
\[
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} bt \\ dt \end{array} \right)
\]
に移る.
\(b \neq 0\) なので, これが任意の \(t\) について, 原点となることはなく不適.
ゆえに
\[
q \neq 0
\]
同様に考えると, \(a \neq 0\) なので, \(p \neq 0\) .
したがって, \(k=\dfrac{p}{q}\) とおけば, \(l : \ y = kx\) で, \(l\) 上の点は \(( t , kt )\) と表せる.
1* \(( a , b ) = ( 2 , -1 )\) のとき
この点は, \(f\) によって \[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ kt \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ( 2-k ) t \\ ( c +dk ) t \end{array} \right) \] に移る.
これが任意の \(t\) について原点となるので \[ \left\{ \begin{array}{l} 2-k =0 \\ c+dk =0 \end{array} \right. \] また, [1] [2] より \[\begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} 2k+c = 0 \\ -k+d = 0 \end{array} \right. \\ \text{∴} \quad k = 2 , \ c = -4 , \ d = 2 \end{gather}\]2* \(( a , b ) = ( -1 , 2 )\) のとき
この点は, \(f\) によって \[ \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ kt \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ( -1+2k ) t \\ ( c +dk ) t \end{array} \right) \] に移る.
これが任意の \(t\) について原点となるので, \[ \left\{ \begin{array}{l} -1+2k =0 \\ c+dk =0 \end{array} \right. \] また, [1] [2] より, \[\begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -k+c =0 \\ 2k+d =0 \end{array} \right. \\ \text{∴} \quad k = \dfrac{1}{2} , \ c = \dfrac{1}{2} , \ d = -1 \end{gather}\]
以上より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{lll} A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right) \text{のとき} \quad & l : \ y = 2x & ... [\text{A}] \\ A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ \dfrac{1}{2} & -1 \end{array} \right) \text{のとき} \quad & l : \ y = \dfrac{1}{2} x & ... [\text{B}] \end{array} \right.} \]
(2)
最大値をとる \(\theta _ M\) は \[ \theta _ M + \alpha = 0 \ \text{すなわち} \ \theta _ M = -\alpha \]
1* [A] のとき
[4] より \[\begin{align} \sin \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} & , \ \cos \alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ \text{∴} \quad \sin \theta _ M = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} & , \ \cos \theta _ M = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{align}\] このときの P の座標は \[ \left( 1-\dfrac{2}{\sqrt{5}} , 1-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right) \]2* [B]のとき
[4] より \[\begin{align} \sin \alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} & , \cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \text{∴} \quad \sin \theta _ M = \dfrac{1}{\sqrt{5}} & , \ \cos \theta _ M = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align}\] このときの P の座標は \[ \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{5}} , 1+\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) \]
以上より, 求める P の座標は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right) \text{のとき} \quad & \left( 1-\dfrac{2}{\sqrt{5}} , 1-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right) \\ A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ \dfrac{1}{2} & -1 \end{array} \right) \text{のとき} \quad & \left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{5}} , 1+\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) \end{array} \right.} \]