\(1\) つの整数を表示する装置がある. 最初に \(2013\) が表示されている. さいころを \(1\) 回投げるたびに次の操作（＊）を行う.
- （＊）表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り \(r\) を求め, 装置に \(r\) を表示させる.
さいころを \(n\) 回投げたとき, 最後に装置に表示されている整数 \(0\) である確率を \(a _ n\) , \(1\) である確率を \(b _ n\) , \(3\) である確率を \(c _ n\) とする.
(1) \(a _ 1 , b _ 1 , c _ 1\) を求めよ.
(2) \(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(a _ {n-1} , b _ {n-1} , c _ {n-1}\) を用いて表せ.
(3) \(a _ n , b _ n , c _ n\) を \(n\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
出た目 \(m\) と表示される数 \(r\) の関係は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline r & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 \end{array} \] したがって, 求める確率は \[ a _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} , \ b _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} , \ c _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} \quad ... [1] \]
(2)
\(n \geqq 2\) の場合について考える.
装置に \(0 , 1 , 3\) が表示されているそれぞれの場合について, (1) と同様の表を書く.
表示が \(0\) のとき \[ \begin{array}{c|cccccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline r & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \]
表示が \(1\) のとき \[ \begin{array}{c|cccccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline r & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \]
表示が \(3\) のとき \[ \begin{array}{c|cccccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline r & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{array} \]
以上より, サイコロを振った後は, 表示は \(0 , 1 , 3\) のいずれかであり, その状態間の遷移は下図のようになる.
よって, 求める関係式は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} a _ n = a _ {n-1} +\dfrac{1}{6} b _ {n-1} +\dfrac{1}{3} c _ {n-1} & ... [2] \\ b _ n = \dfrac{5}{6} b _ {n-1} +\dfrac{1}{6} c _ {n-1} & ... [3] \\ c _ n = \dfrac{1}{2} c _ {n-1} & ... [4] \end{array} \right.} \]
(3)
[1] [4] より, 数列 \(\{ c _ n \}\) は, 初項 \(c _ 1 = \dfrac{1}{3}\) , 公比 \(\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので \[ c _ n = \underline{\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}} \] これを, [3] に代入すると \[\begin{gather} b _ n = \dfrac{5}{6} b _ {n-1} +\dfrac{1}{18} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-2} \\ \text{∴} \quad b _ n +\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} = \dfrac{5}{6} \left\{ b _ {n-1} +\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \end{gather}\] したがって, 数列 \(\left\{ b _ n +\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \right\}\) は, 初項 \(b _ 1 +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) , 公比 \(\dfrac{5}{6}\) の等比数列なので \[\begin{gather} b _ n +\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad b _ n = \underline{\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} -\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n}} \end{gather}\](2) で示した状態遷移より, 自然数 \(n\) に対して, \(a _ n +b _ n +c _ n = 1\) なので, 以上の結果を用いて \[\begin{align} a _ n & = 1 -b _ n-c _ n \\ & = \underline{1 -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} -\dfrac{1}{6} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}} \end{align}\]