関数 \(f(x) = e^{ax} \ (a \gt 0 )\) と次の条件 (ア) , (イ) を満たす関数 \(g(x)\) がある.

1. (ア)　\(y = g(x)\) のグラフは半円 \[ \left\{\begin{array}{l} (x-p)^2 +(y-q)^2 = r^2 \\ y \lt p \end{array}\right. \] である. ただし, \(p \lt 0\) , \(q \gt 0\) , \(r \gt |p|\) とする.

2. (イ)　\(f(0) = g(0)\) , \(f'(0) = g'(0)\) , \(f''(0) = g''(0)\)

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(p , q , r\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(a\) がすべての正の実数を動くとき, \(r\) を最小にする \(a\) の値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

条件 (ア) より \[ g(x) = q -\sqrt{r^2 -(x-p)^2} \] なので \[ g'(x) = \dfrac{x-p}{\sqrt{r^2 -(x-p)^2}} \] さらに \[\begin{align} g''(x) & = \dfrac{\sqrt{r^2 -(x-p)^2} -(x-p) \cdot \frac{x-p}{\sqrt{r^2 -(x-p)^2}}}{r^2 -(x-p)^2} \\ & = \dfrac{\sqrt{r^2 -(x-p)^2} -(x-p) g'(x)}{r^2 -(x-p)^2} \end{align}\] また \[ f'(x) = a e^{ax} , \ f''(x) = a^2 e^{ax} \] なので, 条件 (イ) より \[ \left\{ \begin{array}{ll} q-s = 1 & ... [1] \\ -\dfrac{p}{s} = a & ... [2] \\ \dfrac{s+pa}{s^2} = a^2 & ... [3] \end{array} \right. \] ただし, ここで \(s = \sqrt{r^2-p^2}\) ... [4] とおいた.
[2] より, \(p = -sa\) なので, [3] に代入して \[\begin{gather} \dfrac{1+a^2}{s} = a^2 \\ \text{∴} \quad s = 1 +\dfrac{1}{a^2} \end{gather}\] [1] [2] [4] より \[\begin{align} p & = -sa = \underline{-a -\dfrac{1}{a}} , \\ q & = 1+s = \underline{2 +\dfrac{1}{a^2}} , \\ r & = \sqrt{p^2 +s^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{\left( 1+a^2 \right)^2}{a^2} +\dfrac{\left( 1+a^2 \right)^2}{a^4}} \\ & = \underline{\dfrac{\left( 1+a^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{a^2}} \end{align}\]

(2)

\(h(a) = r^2 = \dfrac{\left( 1 +a^2 \right)^3}{a^4}\) とおいて, \(h(a)\) を最小にする \(a\) の値を求めればよい. \[\begin{align} h'(a) & = \dfrac{3 \left( 1 +a^2 \right)^2 2a \cdot a^4 -4a^3 \left( 1 +a^2 \right)^3}{a^8} \\ & = \dfrac{2 \left( a^2 -2 \right) \left( 1 +a^2 \right)^2}{a^5} \end{align}\] \(h'(a) = 0\) をとくと, \(a \gt 0\) なので \[ a = \sqrt{2} \] したがって, \(h(a)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} a & (0) & \cdots & \sqrt{2} & \cdots \\ \hline h'(a) & & - & 0 & + \\ \hline h(a) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] よって, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{\sqrt{2}} \]