次の問いに答えよ.
(1) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \cos \left( x^2 \right) \, dx\) を求めよ.
(2) \(0 \lt x \lt 1\) のとき, 不等式 \[ \left( \dfrac{x+1}{2} \right)^{x+1} \lt x^x \] が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(t = x^2\) とおくと \[ dt = 2x \, dx , \quad \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \\ \hline t & 0 & \rightarrow & \dfrac{\pi}{2} \end{array} \] よって, 求める積分 \(I\) は \[\begin{align} I & = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ 0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^2 \cos x^2 \cdot 2x \, dx \\ & = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} t \cos t \, dt \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ t \sin t \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} -\dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt \\ & = \dfrac{\pi}{4} +\dfrac{1}{2} \left[ \cos t \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \underline{\dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2}} \end{align}\]
(2)
示すべき不等式について, 両辺対数をとって変形すると
\[\begin{align}
(x+1) \left\{ \log (x+1) -\log 2 \right\} & \lt x \log x \\
(x+1) \left\{ \log (x+1) -\log 2 \right\} -x \log x & \lt 0 \quad ... [ \text{A} ]
\end{align}\]
したがって, [A] が成立することを示せばよい.
[A] の左辺を \(f(x)\) とおくと
\[\begin{align}
f'(x) & = \left\{ \log (x+1) -\log 2 \right\} +1 -\log x -1 \\
& = \log \dfrac{x+1}{2x} \\
& = \log \dfrac{1}{2} \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \\
& \gt \log 1 = 0 \quad \left( \ \text{∵} \ \dfrac{1}{x} \gt 1 \ \right)
\end{align}\]
ゆえに, \(0 \lt x \lt 1\) において, \(f(x)\) は単調増加し
\[
f(x) \lt f(1) = 0
\]
よって, [A] が示され, 題意も示された.