\(r\) を \(0 \lt r \lt 1\) をみたす定数とする. 次の問いに答えよ.
(1) 数列 \(\{ a _ n \}\) を \(a _ n = \left[ \dfrac{n}{3} \right]\) で定める. ただし, 実数 \(x\) に対して, \([x]\) は \(\ell \leqq x \lt \ell +1\) をみたす整数 \(\ell\) を表す. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{3n} (-1)^{k-1} r^{a _ k} \] を求めよ.
(2) 数列 \(\{ b _ n \}\) を \[\begin{align} n \ \text{が奇数のとき} \quad & b _ n = n \\ n \ \text{が偶数のとき} \quad & b _ n = 2n \end{align}\] で定める. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{2n} (-1)^{k-1} r^{\frac{b _ k}{n}} \] を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n = 3m , 3m+1 , 3m+2\) （ \(m\) は整数）に対して, \(a _ n = m\) なので, \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k = 3m}^{3m+2} (-1)^{k-1} r^{a _ k} & = (-1)^{3m-1} r^m ( 1 -1 +1 ) \\ & = r (-r)^{m-1} \end{align}\] これを \(S _ m\) とおけば, 求める極限値は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{3n} (-1)^{k-1} r^{a _ k} & = 1 -1 +\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} S _ m +(-1)^{3n-1} r^n \\ & \rightarrow r \cdot \dfrac{1}{1+r} +0 \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \underline{\dfrac{r}{1+r}} \end{align}\]
(2)
\(n = 2m-1 , 2m\) （ \(m\) は整数）に対して \[ \textstyle\sum\limits _ {k=2m-1}^{2m} (-1)^{k-1} r^{\frac{b _ k}{n}} = r^{\frac{2m-1}{n}} -r^{\frac{2m}{n}} \] これを \(T _ m\) とおけば, 求める極限値は \[\begin{align} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{2n} (-1)^{k-1} r^{\frac{b _ k}{n}} & = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n} T _ m \\ & = \dfrac{1}{n} \left( r^{\frac{1}{n}} \textstyle\sum\limits _ {m=0}^{n-1} r^{\frac{2m}{n}} -\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n} r^{\frac{4m}{n}} \right) \\ & \rightarrow 1 \cdot \displaystyle\int _ 0^1 r^{2x} \, dx -\displaystyle\int _ 0^1 r^{4x} \, dx \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \left[ \dfrac{r^{2x}}{2 \log r} -\dfrac{r^{4x}}{4 \log r} \right] _ 0^1 \\ & = \underline{\dfrac{-r^4 +2 r^2 -1}{4 \log r}} \end{align}\]