平面上に半径 \(1\) と半径 \(2\) の同心円 \(C _ 1\) と \(C _ 2\) がある. 自然数 \(n\) に対して, \(C _ 2\) の周を \(3n\) 等分する \(3n\) 個の点がある. この \(3n\) 個の点の中から異なる \(3\) 点を選ぶとき, 次の（＊）をみたす選び方の総数を \(a _ k \ ( k = 0, 1, 2, 3 )\) とする.
- （＊）選んだ \(3\) 点を頂点とする三角形の辺のうち, ちょうど \(k\) 個が \(C _ 1\) の周と共有点をもつ.
次の問いに答えよ.
(1) \(n = 2\) のとき, \(a _ 0 , a _ 1 , a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 2\) のとき, \(a _ 0 , a _ 1 , a _ 2 , a _ 3\) を \(n\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(6\) つの点から \(3\) 点を選ぶので, 三角形は全部で \({} _ {6} \text{C} {} _ 3 = 20\) 通りある.
\(6\) つの点に \(0 , 1, \cdots , 5\) と番号をつける.
まず点 \(0\) を必ず選ぶと仮定して, 互いに合同な三角形にならないような残り \(2\) 点の選び方を考えた上で, この場合の数を \(6\) 倍すればよい. （ただし, この中に同じ点の選び方をするものがないか注意する. ）
三角形の辺となりうる線分が下図の点線であることに注意して, 各場合について考える.
1* \(a _ 0\) について
どのように \(3\) 点を選んでも, 少なくとも \(1\) 辺は \(C _ 1\) と共有点をもつので \[ a _ 0 = 0 \]2* \(a _ 1\) について
点 \(( 0, 1, 2 )\) と選んだ場合のみが条件をみたすので \[ a _ 1 = 6 \cdot 1 = 6 \]3* \(a _ 3\) について
点 \(( 0, 2, 4 )\) と選んだ場合のみが条件をみたす.
これは正三角形なので, 回転すると \(3\) つが重複するので \[ a _ 3 = \dfrac{6 \cdot 1}{3} = 2 \]4* \(a _ 2\) について
1*～3*以外の場合を考えればよいので \[ a _ 2 = 20 -( 0 +6 +2 ) = 12 \]
以上より \[ a _ 0 = \underline{0} , \ a _ 1 = \underline{6} , \ a _ 2 = \underline{12} , \ a _ 3 = \underline{2} \]
(2)
\(3n\) つの点から \(3\) 点を選ぶので, 三角形は全部で \({} _ {3n} \text{C} {} _ 3 = \dfrac{1}{2} n (3n-1) (3n-2)\) 通りある.
点 \(0 , k \ ( 1 \leqq k \leqq 3n-1 )\) を結ぶ辺が \(C _ 1\) と共有点をもつ条件は
\[
n \leqq k-1 \leqq 2n
\]
これに注意して, (1) と同様に考える.
1* \(a _ 0\) について
\(2\) 点 \(b , c\) を \[ 1 \leqq c \lt b \leqq n-1 \] となるように選べばよいので \[ a _ 0 = 3n {} _ {n-1} \text{C} {} _ 2 = \dfrac{3}{2} n (n-1) (n-2) \]2* \(a _ 1\) について
\(2\) 点 \(b , c\) を \[ n \leqq b \leqq 2n-1 , \ b-n+1 \leqq c \leqq n-1 \] となるように選べばよいので \[\begin{align} a _ 1 & = 3n \textstyle\sum\limits _ {b=n}^{2n-1} ( 2n -b -1 ) \\ & = 3n \left\{ (n-1) +(n-2) + \cdots +1 +0 \right\} \\ & = 3n \cdot \dfrac{n (n-1)}{2} \\ & = \dfrac{3}{2} n^2 (n-1) \end{align}\]3* \(a _ 3\) について
点 \(( 0, n, 2n )\) と選んだ場合のみが条件をみたす.
これは正三角形なので, 回転すると \(3\) つが重複するので \[ a _ 3 = \dfrac{3n \cdot 1}{3} = n \]4* \(a _ 2\) について
1*～3*以外の場合を考えればよいので \[\begin{align} a _ 2 & = \dfrac{n}{2} \left\{ (3n-1) (3n-2) -3 (n-1) (n-2) -3n (n-1) -2 \right\} \\ & = \dfrac{n}{2} ( 3n^2 -3n -6 ) \\ & = \dfrac{3}{2} n (n-2) (n+1) \end{align}\]
以上より \[\begin{align} a _ 0 & = \underline{\dfrac{3}{2} n (n-1) (n-2)} , \quad a _ 1 = \underline{\dfrac{3}{2} n^2 (n-1)} , \\ & \qquad a _ 2 = \underline{\dfrac{3}{2} n (n-2) (n+1)} , \quad a _ 3 = \underline{n} \end{align}\]