\(1\) 個のさいころを \(3\) 回投げ, 出た目の順に \(a , b , c\) とする. 不等式 \[ \displaystyle\int _ 0^{\pi} ( \cos ax ) ( \cos bx ) ( \cos cx ) \, dx \gt 0 \] をみたす確率を求めよ.
【 解 答 】
\(I = \displaystyle\int _ 0^{\pi} ( \cos ax ) ( \cos bx ) ( \cos cx ) \, dx\) とおく.
積和の公式を用いれば
\[\begin{align}
( \cos ax ) & ( \cos bx ) ( \cos cx ) \\
& = \dfrac{1}{2} \{ \cos (a+b) x +\cos (a-b) x \} ( \cos cx ) \\
& = \dfrac{1}{4} \{ \cos (a+b+c) x +\cos (a+b-c) x \\
& \qquad +\cos (a-b+c) x +\cos (a-b-c) x \}
\end{align}\]
ここで, 整数 \(m \ (m \neq 0 )\) について
1* \(m = 0\) のとき \[ \displaystyle\int _ 0^{\pi} \cos mx \, dx = \displaystyle\int _ 0^{\pi} 1 \, dx = \pi \]
2* \(m \neq 0\) のとき \[ \displaystyle\int _ 0^{\pi} \cos mx \, dx = \dfrac{1}{m} \left[ \sin mx \right] _ 0^{\pi} = 0 \]
したがって, \(I \gt 0\) となるための条件は \[ a+b-c = 0 \ \text{または} \ a-b+c = 0 \ \text{または} \ a-b-c = 0 \] すなわち \[ c = a+b \ \text{または} \ b = c+a \ \text{または} \ a = b+c \] 言い換えると, 「 \(a , b , c\) のうちの \(1\) つが, 残り \(2\) つの和になる. 」 ... [1] このような \(3\) つの数の組合せは \[\begin{align} & ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 1 , 4 , 5 ) , \\ & \qquad ( 1 , 5 , 6 ) , ( 2 , 2 , 4 ) , ( 2 , 3 , 5 ) , ( 2 , 4 , 6 ) , ( 3 , 3 , 6 ) \end{align}\] このうち, \(2\) つの数が同じ組が \(3\) 組, \(3\) つの数がすべて異なる組が \(6\) 組あるので, [1] をみたす \(a , b, c\) の組は \[ 3 \cdot {} _ 1 \text{C} {} _ 3 +6 \cdot 3 ! = 45 \quad \text{組} \] よって, 求める確率は \[ \dfrac{45}{6^3} = \underline{\dfrac{5}{24}} \]