A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.
(i) A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.
(ii) B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.
そして A , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる. A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
1* \(n=1\) のとき
勝敗がつくことはないので \[ p _ 1 = 0 \]2* \(n=2\) のとき
「表表」と出れば, A が勝つので \[ p _ 2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]3* \(n=3\) のとき
A が勝つことはないので \[ p _ 3 = 0 \]4* \(n\) が \(4\) 以上の偶数のとき
\(1\) 回目から \(n-1\) 回目までに, 「表」が \(1\) 回, 「裏表」の組が \(\dfrac{n-2}{2}\) 回出て, \(n\) 回目に「表」が出れば, A が勝つので \[ p _ n = \dfrac{n}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{n}{2^{n+1}} \] これは, \(n=2\) のときも満たしている.5* \(n\) が \(4\) 以上の奇数のとき
\(1\) 回目から \(n-1\) 回目までに, 「表」が \(1\) 回, 「裏裏表」の組が \(1\) 回, 「裏表」の組が \(\dfrac{n-5}{2}\) 回出て, \(n\) 回目に「表」が出れば, A が勝つので \[\begin{align} p _ n & = \dfrac{n-1}{2} \cdot \dfrac{n-3}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \\ & = \dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}} \end{align}\] これは, \(n=1, 3\) のときも満たしている.
以上より, 求める確率 \(p _ n\) は \[ p _ n = \underline{\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{n}{2^{n+1}} & \left( n \text{が偶数のとき} \right) \\ \dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}} & \left( n \text{が奇数のとき} \right) \end{array}\right.} \]