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【 解 答 】

\(C\) と円の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 +( ax^3 -2x )^2 & = 1 \\ \text{∴} \quad a^2 x^6 -4a x^4 +5x^2 -1 & = 0 \end{align}\] \(t = x^2\) とおけば \(t \geqq 0\) であり \[ a^2 t^3 -4a t^2 +5t -1 = 0 \quad ... [1] \] 左辺を \(f(t)\) とおけば, \(f(0) = -1 \neq 0\) なので, [1] が \(t \gt 0\) に異なる \(3\) つの実数解をもつ条件を求めればよい. \[\begin{align} f'(t) & = 3a^2 t^2 -8at +5 \\ & = ( 3at -5 ) ( at -1 ) \end{align}\] \(f'(t) = 0\) をとくと, \(t = \dfrac{1}{a} , \dfrac{5}{3a}\) .
\(t \gt 0\) における \(f(t)\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|cccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{a} & \cdots & \dfrac{5}{3a} & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & (-1) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 求める条件は \[ f \left( \dfrac{1}{a} \right) \gt 0 \ \text{かつ} \ f \left( \dfrac{5}{3a} \right) \lt 0 \] ここで \[\begin{align} f \left( \dfrac{1}{a} \right) & = \dfrac{1}{a} -\dfrac{4}{a} +\dfrac{5}{a} -1 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad a \lt 2 \ , \\ f \left( \dfrac{5}{3a} \right) & = \dfrac{125}{27a} -\dfrac{100}{9a} +\dfrac{25}{3a} -1 \lt 0 \\ & \text{∴} \quad a \gt \dfrac{50}{27} \end{align}\] よって, 求める \(a\) の範囲は \[ \underline{\dfrac{50}{27} \lt a \lt 2} \]

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【 解 答 】

(1)

選ぶ数字を ○ , 選ばない数字を × に置きかえると, ○ が隣り合わない並べ方を考えればよい.
\(1\) は必ず選ぶので, \(N\) 個の ○ に対して, 以下のように並べれば条件をみたす.

• \(N-1\) か所の間と右端に × を \(1\) つずつ並べる.

• \(N-1\) か所の間のうち \(1\) か所に \(2\) つ, 残りに \(1\) つずつ × を並べる.

よって, 求める選び方は \[ 1 +( N-1 ) = \underline{N} \text{通り} \]

(2)

○ が \(K\) 個並ぶ部分を \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ K\) と表す.
\(N \geqq 5\) より \(N-2 \gt 2\) なので, 条件をみたす選び方は, 以下の通り.

1. 1*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ N\) × 」で始まるとき
   残りはすべて × で, \(1\) 通り.

2. 2*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-1}\) × 」で始まるとき
   残り \(N\) か所のうち \(1\) か所が ○ で残りが × である場合で \[ N \ \text{通り} \]

3. 3*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) × 」で始まるとき
   残り \(N+1\) か所のうち \(2\) か所が ○ で残りが × である場合で \[ {} _ {N+1} \text{C}{} _ {2} = \dfrac{N (N+1)}{2} \ \text{通り} \]

4. 4*　「 ○ ○ × 」で始まるとき
   残り \(2N-3\) か所に \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が \(1\) つある場合で \[ (2N-3) -(N-2) +1 = N \ \text{通り} \]

5. 5*　「 ○ × 」で始まるとき
   残り \(2N-2\) 箇所について

   • \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-1}\) が \(1\) つある場合で \[ (2N-2) -(N-1) +1 = N \ \text{通り} \]
   • \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が \(1\) つ, これと離れた ○ が \(1\) つの場合のうち,
     \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が両端にある場合（\(2\) 通りある）は, ○ の場所の選び方は \(N-1\) 通りあり,
     \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が両端にない場合（\(N-1\) 通りある）は, ○ の場所の選び方は \(N-2\) 通りあるので \[ 2 (N-1) +(N-1) (N-2) = N (N-1) \ \text{通り} \]

以上より, 求める選び方は \[\begin{align} & 1 +N +\dfrac{N (N+1)}{2} +N +N +N (N-1) \\ & \qquad = \dfrac{3}{2} N^2 +\dfrac{5}{2} N +1 \\ & \qquad = \underline{\dfrac{1}{2} (3N+2) (N+1) \ \text{通り}} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

\(2\) つの放物線の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 +ax +b & = -x^2 \\ \text{∴} \quad 2x^2 +ax +b & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] [1] が \(-1 \lt x \lt 0\) , \(0 \lt x \lt 1\) に \(1\) つずつ解を持つ条件を考えればよく, それは \[ f(-1) \gt 0 \ \text{かつ} \ f(0) \lt 0 \ \text{かつ} \ f(1) \gt 0 \] 各式について \[\begin{align} f(-1) & = -a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt a-2 \ , \\ f(0) & = b \lt 0 \ , \\ f(1) & = a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt -a-2 \\ \end{align}\] よって, \(( a , b )\) のとりうる範囲は下図斜線部（境界は含まない）.

(2)

\(C\) の式より \[ b = -xa -x^2 +y \] これは, 傾き \(-x\) の直線を表す.
\(b = g(a)\) とおいて, この直線が (1) で求めた領域と共有点をもつ条件を考えればよく, それは以下のいずれかである.

1. 1*　\(g(-2) g(2) \lt 0\) すなわち \[ ( y -x^2 +2x ) ( y -x^2 -2x ) \lt 0 \]

2. 2*　「 \(g(-2) \lt 0\) かつ \(g(2) \lt 0\) かつ \(g(0) \gt -2\) 」すなわち \[ y \lt x^2 +2x \ \text{かつ} \ y \lt x^2 -2x \ \text{かつ} \ y \gt x^2 -2 \]

よって, \(C\) の通りうる領域は下図斜線部（境界は含まない）.

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【 解 答 】

(1)

\(K\) と \(L\) は奇数で, \(4\) で割った余りが等しいので, \(K = 4k \pm 1\) , \(L = 4 \ell \pm 1\) （複号同順, \(k , \ell\) は自然数）とおける.
\(A , B\) を \(4\) で割った余りをそれぞれ \(m , n\) とすれば, \(A = 4a' +m\) , \(B = 4b' +n\) （\(a' , b'\) は自然数）と表せる. \[\begin{align} KA & = 4 ( 4 k a' \pm a' +km ) \pm m \ , \\ LB & = 4 ( 4 \ell b' \pm b' +\ell n ) \pm n \end{align}\] \(KA = LB\) であれば, \(KA , LB\) を \(4\) で割った余りは等しいので \[\begin{align} \pm m & = \pm n \\ \text{∴} \quad m & = n \end{align}\] よって, 題意は示された.

(2)

\(B = \dfrac{a ( a-1 ) \cdots ( a-b+1 )}{b ( 4b-1 ) \cdots 1}\) であることを用いれば, \(0 \leqq k \leqq b-1\) として \[\begin{align} A & = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a}{4b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-2}{4b-2} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{4(a-k)}{4(b-k)} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-2}{4(b-k)-2} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{4(a-b)+4}{4} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+2}{2} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\ & = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{a-k}{b-k} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{a-b+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{2(a-b)+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\ & = B \underline{\left( \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \right.} \\ & \qquad \underline{\left.\dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \right)} _ {[1]} \\ & \qquad \underline{\left( \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdots \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{2(a-b)+1}{1} \right)} _ {[2]} \end{align}\] ここで, [1] [2] の分子, 分母はすべて奇数の積で, 奇数であることから \[ \left\{ \begin{array}{l} K = ( \ [1] \text{の分子} \ ) \times ( \ [2] \text{の分子} \ ) \\ L = ( \ [1] \text{の分母} \ ) \times ( \ [2] \text{の分母} \ ) \end{array} \right. \quad ... [3] \] とおけば, \(K , L\) は奇数で \(KA = LB\) をみたす.
よって, 題意は示された.

(3)

[1] に含まれる各分数は, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.
\(a-b\) が \(2\) で割り切れるので, \(a = b +2p \ ( \ p \text{は整数} \ )\) とおけて \[ [2] = \dfrac{4p+2b-1}{2b-1} \cdots \dfrac{4p+2(b-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{4p+1}{1} \] ゆえに, [2] に含まれる各分数も, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.
したがって, [3] より\(K\) と \(L\) は \(4\) で割った余りが等しい.
よって, (1) の結果も用いれば, \(A\) と \(B\) は \(4\) で割った余りが等しくなり, 題意は示された.

(4)

(3) の結果を用いれば, 法を \(4\) として \[\begin{align} {} _ {2021} \text{C} {} _ {37} & \equiv {} _ {505} \text{C} {} _ {9} \quad ( \ \text{∵} \ 2021 = 4 \cdot 505 +1 , 37 = 4 \cdot 9 +1 \ ) \\ & \equiv {} _ {126} \text{C} {} _ {2} \quad ( \ \text{∵} \ 505 = 4 \cdot 126 +1 , 9 = 4 \cdot 2 +1 \ ) \\ & \equiv \dfrac{126 \cdot 125}{2} \equiv 63 \cdot 125 \\ & \equiv -1 \cdot 1 \equiv -1 \end{align}\] よって, 求める余りは \[ \underline{3} \]

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【 解 答 】

\[\begin{align} \text{PQ}^2 & = 4 ( x^2 +y^2 ) \ , \\ \text{PR}^2 & = ( x-1 )^2 +y^2 \ , \\ \text{QR}^2 & = ( x+1 )^2 +y^2 \end{align}\] 点 P が \(x\) 軸上にあると, \(3\) 点が一直線上に並んでしまうので \[ y \neq 0 \quad ... [1] \] △PQR が鋭角三角形になる条件は \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{PQ}^2 \lt \text{PR}^2 +\text{QR}^2 & \quad ... [2] \\ \text{PR}^2 \lt \text{QR}^2 +\text{PQ}^2 & \quad ... [3] \\ \text{QR}^2 \lt \text{PQ}^2 +\text{PR}^2 & \quad ... [4] \end{array} \right. \] [2] より \[\begin{align} 4 x^2 +4 y^2 & \lt 2 x^2 +2 y^2 +2 \\ \text{∴} \quad x^2 +y^2 & \lt 1 \end{align}\] [3] より \[\begin{align} -2x & \lt 4 x^2 +4 y^2+2x \\ x^2 +x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] [4] より \[\begin{align} 2x & \lt 4 x^2 +4 y^2-2x \\ x^2 -x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] よって, 求める条件は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 \lt 1 \\ \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \\ \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \end{array} \right.} \] 図示すると, 下図斜線部（境界は含まない）. これは, [1] も満たしている.

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【 解 答 】

(1)

A が優勝するのは, 次の \(2\) 通りが考えられる.

1. 1*　以下の \(3\) 試合のセットが \(0\) 回以上繰り返された後に, A が B , C に連勝する.

   • A 対 B で A が勝つ

   • A 対 C で C が勝つ

   • B 対 C で B が勝つ

2. 2*　以下の \(3\) 試合のセットが \(1\) 回以上繰り返された後に, A が B に勝つ.

   • A 対 B で B が勝つ

   • B 対 C で C が勝つ

   • A 対 C で A が勝つ

\(5\) 試合目に A が優勝するのは, 1* の場合に当たり, 求める確率は \[ \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\dfrac{1}{32}} \]

(2)

1* の場合, A が \(n = 3m-1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^{m-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m-1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] 2* の場合, A が \(n = 3m+1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \cdot \dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m+1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数のとき} \ ) \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^n & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数でないとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(3)

(2) の結果から, 求める確率は \[\begin{align} & \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{3m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m}}{1 -\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m}{1 -\dfrac{1}{8}} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m -\dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \\ & \quad = \underline{\dfrac{5}{14} -\dfrac{6}{7} \left( \dfrac{1}{8} \right)^m} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

A の式より \[ y' = 2x \] B の式より \[ y' = -2x +p \] A , B が 点 \(( -1 , 1 )\) で接するので, 傾きに着目して \[\begin{align} -2 & = 2+p \\ \text{∴} \quad p & = \underline{-4} \end{align}\] また \[\begin{align} 1 & = -1 +4 +q \\ \text{∴} \quad q & = \underline{-2} \end{align}\]

(2)

C の式は \[\begin{align} y & = -( x -2t )^2 -4 ( x -2t ) -2 +t \\ & = -x^2 +4 ( t-1 ) x -4t^2 +9t -2 \end{align}\] A , C の式より, \(y\) を消去すれば \[ 2x^2 -4 ( t-1 ) x +4t^2 -9t +2 = 0 \quad ... [1] \] [1] の判別式を \(D\) とすれば \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = 4 ( t-1 )^2 -2 ( 4t^2 -9t +2 ) \\ & = -4 t^2 +10 t \\ & = -4 t \left( t -\dfrac{5}{2} \right) \end{align}\]

1. 1*　\(D \gt 0\) すなわち \(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のとき
   [1] の \(2\) 解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおけば \[ \alpha = \dfrac{2 ( t-1 ) -\sqrt{D}}{2} , \ \beta = \dfrac{2 ( t-1 ) +\sqrt{D}}{2} \] なので \[ \beta -\alpha = \dfrac{\sqrt{D}}{2} \] A , C はそれぞれ下, 上に凸の放物線なので \[\begin{align} S(t) & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} ( [1] \text{の左辺} ) \, dx \\ & = \dfrac{2}{6} ( \beta -\alpha )^3 \\ & = \dfrac{1}{3} \left( \underline{-4t^2 +10t} _ {[2]} \right)^{\frac{3}{2}} \end{align}\]

2. 2*　\(D \leqq 0\) すなわち \(t \geqq \dfrac{5}{2}\) のとき
   A と C は領域を囲まないので \[ S(t) = 0 \]

以上より \[ S(t) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{3} \left( -4t^2 +10t \right)^{\frac{3}{2}} & \left( \ 0 \lt t \lt \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \\ 0 & \left( \ t \geqq \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]

(3)

\(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のときについて考えればよい.
下線部 [2] を \(f(t)\) とおけば \[ f(t) = -4 \left( t -\dfrac{5}{4} \right)^2 +\dfrac{25}{4} \] よって, 求める最大値は \[ \dfrac{1}{3} \{ f(4) \}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{25}{4} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{125}{24}} \]

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【 解 答 】

(1)

\(3^4 \equiv 81 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 10 )\) なので \[ a _ {n+4} = a_n \] よって, \(a_1 = 3\) , \(a_2 = 9\) , \(a_3 = 7\) , \(a_4 = 1\) より \[ a_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 9 & ( \ n \equiv 2 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 7 & ( \ n \equiv 3 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \equiv 0 \ ( \text{mod} \ 4 ) \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(2)

\(3^2 \equiv 9 \equiv 1 \ ( \text{mod} \ 4 )\) なので \[ b _ {n+2} = b_n \] よって, \(b_1 = 3\) , \(b_2 = 1\) より \[ b_n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ 1 & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(3)

条件より, \(n \geqq 2\) のとき, \(x_n\) は \(3\) の累乗なので, 奇数である.
ゆえに, (2) の結果から, \(3^{x _n}\) は \(4\) で割ると \(3\) 余る.
さらに, (1) の結果から, \(n \geqq 3\) のとき, \(x_n\) は \(10\) で割ると \(7\) 余る.
よって, 求める余りは \[ \underline{7} \]

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