負でない整数 \(N\) が与えられたとき, \(a _ 1 = N\) , \(a _ {n+1} = \left[ \dfrac{N}{2} \right] \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) として数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を定める. ただし \([a]\) は, 実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を表す.
(1) \(a _ 3 = 1\) となるような \(N\) をすべて求めよ.
(2) \(0 \leqq N \lt 2^{10}\) をみたす整数 \(N\) のうちで, \(N\) から定まる数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) のある項が \(2\) となるようなものはいくつあるか.
(3) \(0\) から \(2^{100} -1\) までの \(2^{100}\) 個の整数から等しい確率で \(N\) を選び, 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を定める. 次の条件 (＊) をみたす最小の正の整数 \(m\) を求めよ.
- (＊) 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) のある項が \(m\) となる確率が \(\dfrac{1}{100}\) 以下となる.
【 解 答 】
(1)
\(a _ 3 = 1\) となるのは \[ a _ 2 = 2 ,3 \ . \]
1* \(a _ 2 = 2\) となるのは \[ a _ 1 = 4 , 5 \ . \]
2* \(a _ 2 = 3\) となるのは \[ a _ 1 = 6 , 7 \ . \]
よって, 求める \(N\) は \[ N = \underline{4 , 5 , 6 , 7} \ . \]
(2)
条件をみたす（ \(a _ n = m\) となる項がある ） \(N\) の個数を \(I _ m\) とおく.
\(2^k \leqq m \lt 2^{k+1}\) をみたす自然数 \(m\) に対して, \(a _ {n+1} = m\) となるのは, \(2^{k+1} \leqq m' \lt 2^{k+2}\) をみたす自然数 \(m'\) のうちの \(2\) 個（ \(a _ n = 2m , 2m+1\) ）である.
これを繰返し用いれば, \(a _ n = m\) となる 初項 \(a _ 1 = N\) は, \(2^{k+n-1} \leqq M \lt 2^{k+n}\) をみたす自然数 \(M\) に \(2^{n-1}\) 個含まれる.
ここで \(m = 2\) , \(0 \leqq N \lt 2^{10}\) の場合について考えれば, 条件をみたす \(N\) は
\[\begin{align}
2 \leqq N \lt 2^2 \ & \text{のうち} \ 1 \ \text{個} \\
2^2 \leqq N \lt 2^3 \ & \text{のうち} \ 2 \ \text{個} \\
\cdots & \cdots \\
2^9 \leqq N \lt 2^{10} \ & \text{のうち} \ 2^8 \ \text{個} \ .
\end{align}\]
よって, 求める個数 \(I _ 2\) は
\[
I _ 2 = 1 +2 + \cdots +2^8 = \dfrac{2^9 -1}{2 -1} = \underline{511} \ .
\]
(3)
(2) と同様に考えれば, \(2^k \leqq m \lt 2^{k+1}\) をみたす自然数 \(m\) について, \(0 \leqq N \lt 2^{100}\) の範囲で \[\begin{align} I _ m & = \textstyle\sum\limits _ {n = 1}^{100-k} 2^{n-1} \\ & = \dfrac{2^{100-k} -1}{2 -1} = 2^{100-k} -1 \ . \end{align}\] よって, 条件 (＊) をみたすのは, \(k\) が整数であることに注意して \[\begin{align} \dfrac{I _ m}{2^{100}} & \leqq \dfrac{1}{100} \\ 2^{100-k} -1 & \leqq \dfrac{2^{100}}{100} \lt 2^{94} \quad ( \ \text{∵} \ 2^6 \lt 100 \lt 2^7 \ ) \\ \text{∴} \quad 100-k & \lt 94 \\ \text{∴} \quad k & \geqq 7 \\ \ . \end{align}\] したがって, 求める \(m\) は \(2^7 \leqq m \lt 2^8\) の最小値なので \[ m = \underline{128} \ . \]