次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.
【 解 答 】
(1)
(*) の各式について, 解と係数の関係より
\[\begin{align}
a & = -c-d \quad ... [1] \ , \ b = cd \quad ... [2] \ , \\
c & = -e-f \quad ... [3] \ , \ d = ef \quad ... [4] \ , \\
e & = -a-b \quad ... [5] \ , \ f = ab \quad ... [6] \ .
\end{align}\]
[5] , [6] を [3] , [4] に代入して
\[\begin{align}
c & = a +b -ab \quad ... [7] \ , \\
d & = -ab ( a+b ) \quad ... [8] \ .
\end{align}\]
これをさらに [1] , [2] に代入して
\[\begin{align}
a & = - (a+b ) +ab +ab ( a+b ) \quad ... [9] \ , \\
b & = - ab ( a+b ) ( a+b -ab ) \quad ... [10] \ .
\end{align}\]
1* \(b = 0\) のとき
[10] は成立して, [9] に代入すると
\[\begin{align}
a & = -a \\
\text{∴} \quad a & = 0 \ .
\end{align}\]
このとき, [5] ~ [8] より
\[
c = d = e = f = 0 \ .
\]
2* \(b \neq 0\) のとき
[8] の両辺を \(b\) で割って
\[
-a ( a+b ) ( a +b -ab ) = 1 \ .
\]
左辺は \(3\) つの整数の積であり, それぞれ \(1 , -1\) のいずれかである.
- (あ) \(a = 1\) のとき
\[\begin{align}
( b+1 ) \cdot 1 & = -1 \\
\text{∴} \quad b & = -2 \ .
\end{align}\]
このとき, [5] ~ [8] より
\[
c = e = 1 , \quad d = f = -2 \ .
\]
- (い) \(a = -1\) のとき
\[\begin{align}
( b-1 ) ( 2b -1 ) & = 1 \\
b ( 2b -3 ) & = 0 \\
\text{∴} \quad b & = \dfrac{3}{2} \quad ( \ \text{∵} \quad b \neq 0 \ ) \ .
\end{align}\]
これは整数ではないので, 不適.
以上より, 求める組は
\[
( a , b , c , d , e , f ) = \underline{( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , -2 , 1 , -2 , 1 , -2 )} \ .
\]
(2)
(i)
(**) の \(2\) 次方程式について, 解と係数の関係より
\[
a_n = -a _ {n+1} -b _ {n+1} \quad ... [11] \ , \quad b_n = a _ {n+1} b _ {n+1} \quad ... [12] \ .
\]
[12] より, 「 \(b_n \neq 0\) ならば \(a _ {n+1} \neq 0\) かつ \(b _ {n+1} \neq 0\)」... [13] なので, 次のように場合分けして考える.
1* \(b_n = 0 \ ( n \geqq 1 )\) のとき
\(| b_n | = 0\) となるので, 条件を満たす \(m (=1)\) が存在する.
2* ある自然数 \(N\) について, \(b_n \neq 0 \ ( n \geqq N )\) となるとき
[12] より, \(| b_n | = | a _ {n+1} | | b _ {n+1} |\) で, [13] より, \(| b_n | , | a _ {n+1} | , | b _ {n+1} |\) はすべて正の整数なので
\[
| b_n | \geqq | b _ {n+1} | \ .
\]
したがって, 数列 \(\{ b_n \}\) は, \(n \geqq N\) において単調減少する.
条件を満たす \(m\) が存在しないと仮定すると,
\(| b_n |\) は整数値をとるので, どこまでも小さくなっていくが, これは \(| b_n | \geqq 1\) であることに矛盾する.
ゆえに, 条件を満たす \(m\) が存在する.
以上より, 題意は示された.
(ii)
(i) と同じ場合分けをして考える.
1* のとき
[11] より, \(a _ {n+1} = -a_n\) なので,
数列 \(\{ a_n \}\) は, 初項 \(a_1 = k \ ( k \ \text{は整数} )\) , 公比 \(-1\) の等比数列であり
\[
a_n = (-1)^{n-1} k \ .
\]
2* のとき
\(| b_m | = \ell\) とおく.
\(n \geqq m\) において, \(| a_n | = | a_ {n+1} |\) なので, \( n \geqq m+1\) において
\[
| a_n | = 1 \quad ... [14] \ .
\]
\(2\) 次方程式の判別式 \(D\) について
\[
D = {a_n}^2 -4 b_n \geqq 0 \ .
\]
なので, [14] より, \(n \geqq m+1\) において
\[
b_n \leqq \dfrac{1}{4} \ .
\]
つまり
\[
b_n = -\ell \quad ... [15] \ .
\]
[12] [14] より, \(n \geqq m+2\) において
\[
a_n = 1 \quad ... [16] \ .
\]
[11] [15] [16] より, \(n \geqq m+3\) において
\[\begin{align}
1 & = -1 +\ell \\
\text{∴} \quad \ell & = 2 \\
\text{∴} \quad ( a_n , b_n ) & = ( 1 , -2 ) \ .
\end{align}\]
\(( a _ {n+1} , b _ {n+1} ) = ( 1 , -2 )\) であれば, [11] [12] より
\[
( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ .
\]
なので, これを繰返し用いれば, 結局 \(n \geqq 1\) に対して
\[
( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ .
\]
以上より, 求める数列の組は
\[
( a_n , b_n ) = \underline{( 1 , -2 ) , \left( (-1)^{n-1} k , 0 \right) \quad ( k \text{は整数} \ )} \ .
\]
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