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次の問に答えよ.

1. (1)　\(a = \sqrt{13} +\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}\) とするとき, 整数係数の \(4\) 次多項式 \(f(x)\) で \(f(a) = 0\) となるもののうち, \(x^4\) の係数が \(1\) であるものを求めよ.

2. (2)　\(8\) つの実数 \[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \] （ただし, 複号 \(\pm\) はすべての可能性にわたる）の中で, (1) で求めた \(f(x)\) に対して方程式 \(f(x) = 0\) の解となるものをすべて求め, それ以外のものが解でないことを示せ.

3. (3)　(2) で求めた \(f(x) = 0\) の解の大小関係を調べ, それらを大きい順に並べよ.

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【 解 答 】

(1)

条件より \[ a -\sqrt{13} = \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \quad ... [1] \ . \] これを両辺平方すると \[\begin{align} a^2 -2 \sqrt{13} +13 & = 2 \cdot 9 +2 \sqrt{81 -68} \\ \text{∴} \quad a^2 -5 & = 2 \sqrt{13} (a+1) \quad ... [2] \ . \end{align}\] さらに両辺平方して \[\begin{align} a^4 -10a^2 +25 & = 52a^2 +104a +52 \\ \text{∴} \quad a^4 -62a^2 & -104a -27 = 0 \quad ... [3] \ . \end{align}\] よって, 求める多項式 \(f(x)\) は \[ f(x) = \underline{x^4 -62x^2 -104x -27} \ . \]

(2)

[2] を平方して [3] を得たので \[ a^2 -5 = \pm 2 \sqrt{13} (a+1) \ . \] も [3] をみたす.
これを変形して \[\begin{align} a^2 \mp 2 \sqrt{13} a +13 & = 18 \pm 2 \sqrt{13} \\ \text{∴} \quad ( a \mp \sqrt{13} )^2 & = \left( \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \right)^2 \ . \end{align}\] [1] を平方してこれを得たので \[\begin{align} a \mp \sqrt{13} & = \pm \left( \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \right) \\ \text{∴} \quad a & = \underline{\pm} _ {[4]} \sqrt{13} \pm \left( \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \underline{\pm} _ {[4]} \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \right) \ . \end{align}\] ただし, 下線 [4] の複号は同順.
よって, \(f(x) = 0\) の解は \[\begin{align} x & = \underline{\sqrt{13} \pm \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} , } \\ & \qquad \underline{-\sqrt{13} \pm \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \mp \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \quad ( \text{複号同順} ) \quad} \ . \end{align}\] \(4\) 次方程式は高々 \(4\) 個の解しかもたないので, これ以外に解はない.

(3)

\(4 \lt \sqrt{17} \lt \dfrac{9}{2}\) なので \[ 0 \lt 9 -2 \sqrt{17} \lt 1 , \ 17 \lt 9 +2 \sqrt{17} \lt 18 \ . \] したがって \[ \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \lt \sqrt{13} \lt \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \ . \] これを用いて大小を比較すれば \[\begin{align} & \underline{\sqrt{13} +\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}} \\ & \quad \underline{\gt -\sqrt{13} +\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} -\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}} \\ & \qquad \underline{\gt \sqrt{13} -\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} -\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}} \\ & \qquad \quad \underline{\gt -\sqrt{13} -\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}} \ . \end{align}\]