\(e\) を自然対数の底とし, \(t\) を \(t \gt e\) となる実数とする. このとき, 曲線 \(C : \ y = e^x\) と 直線 \(y = tx\) は相異なる \(2\) 点で交わるので, 交点のうち \(x\) 座標が小さいものを P , 大きいものを Q とし, P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とする. また, P における \(C\) の接線と Q における \(C\) の接線との交点を R とし,
曲線 \(C\) , \(x\) 軸および \(2\) つの直線 \(x = \alpha\) , \(x = \beta\) で囲まれる部分の面積を \(S _ 1\) ,
曲線 \(C\) および \(2\) つの直線 PR , QR で囲まれる部分の面積を \(S _ 2\)
とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を \(\alpha\) と \(\beta\) を用いて表せ.
(2) \(\alpha \lt \dfrac{e}{t}\) , \(\beta \lt 2 \log t\) となることを示し, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ. 必要ならば, \(x \gt 0\) のとき \(e^x \gt x^2\) であることを証明なしに用いてよい.
【 解 答 】
(1)
P , Q は \(C\) と直線 \(y = tx\) の交点なので \[ e^{\alpha} = t \alpha , \ e^{\beta} = t \beta \ . \] これを用いれば \[\begin{align} S _ 1 & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} e^x \, dx \\ & = e^{\beta} -e^{\alpha} = t ( \beta -\alpha ) \quad ... [1] \ . \end{align}\] \(C\) の式より, \(y' = e^x\) なので \[\begin{align} \text{PR} : \ y & = e^{\alpha} ( x -\alpha ) +e^{\alpha} \\ & = e^{\alpha} x +( 1 -\alpha ) e^{\alpha} \\ & = t \alpha ( x -\alpha +1 ) , \\ \text{QR} : \ y & = t \beta ( x -\beta +1 ) \ . \end{align}\] \(2\) 式より \(y\) を消去すると, \(t \neq 0\) , \(\alpha \neq \beta\) なので \[\begin{align} \alpha x -\alpha ( & \alpha -1 ) = \beta x -\beta ( \beta -1 ) \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{{\beta}^2 -{\alpha}^2 -( \beta -\alpha )}{\beta -\alpha} \\ & = \alpha +\beta -1 \ . \end{align}\] このとき \[ y = t \alpha \beta \ . \] ゆえに \[ \text{Q} \ ( \alpha +\beta -1 , t \alpha \beta ) \ . \] なので \[\begin{align} \triangle \text{PQR} & = \dfrac{1}{2} ( \beta -\alpha ) \left\{ t ( \alpha +\beta -1 ) -t \alpha \beta \right\} \\ & = \dfrac{1}{2} ( \beta -\alpha ) ( 1 -\alpha ) ( \beta -1 ) \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} S _ 2 & = \triangle \text{PQR} -\left\{ \dfrac{1}{2} ( \beta -\alpha ) ( t \alpha +t \beta ) -S _ 3 \right\} \\ & = \dfrac{t}{2} ( \beta -\alpha ) \left\{ \alpha +\beta -( 1 -\alpha ) ( \beta -1 ) +2 \right\} \\ & = \dfrac{t}{2} ( \beta -\alpha ) ( 1 -\alpha \beta ) \quad ... [2] \ . \end{align}\] よって, [1] [2] より \[ \dfrac{S _ 2}{S _ 1} = \underline{\dfrac{1 -\alpha \beta}{2}} \ . \]
(2)
\(f(x) = e^x -tx\) とおくと \[ f'(x) = e^x -t \ . \] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = \log t \ . \] したがって, \(f(x)\) の \(x \gt 0\) における増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & \log t & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & (1) & \searrow & -t ( \log t -1 ) & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \] \(\alpha , \beta\) が \(f(x) = 0\) の解であるので, \(f(x)\) のグラフは下図のようになる.
\(t \gt e\) に注意すれば \[ f \left( \dfrac{e}{t} \right) = e^{\frac{e}{t}} -e \lt 0 \ . \] なので, グラフから \[ 0 \lt \alpha \lt \dfrac{e}{t} \quad ... [3] \ . \] また, \(e^x \gt x^2\) より \(x \gt 2 \log x\) であることを用いれば \[\begin{align} f( 2 \log t ) & = t^2 -2t \log t \\ & = t ( t -2 \log t ) \gt 0 \ . \end{align}\] なので, グラフより \[ \log t \lt \beta \lt 2 \log t \quad ... [4] \ . \] [3] [4] より \[ 0 \lt \alpha \beta \lt \dfrac{2e \log t}{t} \quad ... [5] \ . \] ここで, \(e^x \gt x^2\) について, \(x = \log t\) とおけば \[ t \gt ( \log t )^2 \ \text{すなわち} \ \sqrt{t} \gt \log t \ . \] なので, これを用いれば \[ \dfrac{\log t}{t} \lt \dfrac{1}{\sqrt{t}} \rightarrow 0 \quad ( \ t \rightarrow \infty \ \text{のとき} ) \ . \] ゆえに, [5] とはさみうちの原理から \[ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \alpha \beta = 0 \ . \] よって, (1) の結果より \[ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{S _ 2}{S _ 1} = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{1 -\alpha \beta}{2} = \underline{\dfrac{1}{2}} \ . \]