数直線上にある \(1, 2, 3, 4, 5\) の \(5\) つの点と \(1\) つの石を考える. 石がいずれかの点にあるとき,
石が点 \(1\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(2\) に移動する.
石が点 \(k \ ( k = 2, 3, 4 )\) にあるならば, 確率 \(\dfrac{1}{2}\) で点 \(k+1\) に移動する.
石が点 \(5\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(4\) に移動する.
という試行を行う. 石が点 \(1\) にある状態から始め, この試行を繰り返す. また, 石が移動した先の点に印をつけていく（点 \(1\) には初めから印がついているものとする）. このとき, 次の問に答えよ.
(1) 試行を \(6\) 回繰り返した後に, 石が点 \(k \ ( k = 1, 2, 3, 4, 5 )\) にある確率をそれぞれ求めよ.
(2) 試行を \(6\) 回繰り返した後に, \(5\) つのすべてに印がついている確率を求めよ.
(3) 試行を \(n\) 回（ \(n \geqq 1\) ）繰り返した後に, ちょうど \(3\) つの点に印がついている確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n\) 回の試行後に, 各点に石がある確率を表にすると, 下のようになる（空欄は, 確率 \(0\) ）. \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c} \text{点｜試行} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \hline 1 & & \dfrac{1}{2} & & \dfrac{3}{8} & & \dfrac{5}{16} \\ \hline 2 & 1 & & \dfrac{3}{4} & & \dfrac{5}{8} & \\ \hline 3 & & \dfrac{1}{2} & & \dfrac{1}{2} & & \dfrac{1}{2} \\ \hline 4 & & & \dfrac{1}{4} & & \dfrac{3}{8} & \\ \hline 5 & & & & \dfrac{1}{8} & & \dfrac{3}{16} \end{array} \] よって, 点 \(1, 2, \cdots , 5\) にある確率は順に \[ \underline{\dfrac{5}{16} , \ 0 , \ \dfrac{1}{2} , \ 0 , \ \dfrac{3}{16}} \ . \]
(2)
条件を満たすのは, 以下の \(2\) つの場合である.
\(4\) 回目に点 \(5\) に到達する.
\(4\) 回目に点 \(3\) にあり, その後 \(6\) 回目に点 \(5\) に到達する.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \underline{\dfrac{1}{4}} \ . \]
(3)
求める確率を \(P _ n\) とおく.
石は, 奇数回後には点 \(2, 4\) に, 偶数回後には点 \(1, 3, 5\) にあることに着目し, 場合分けして考える.
1* \(n\) が奇数のとき
「 \(n\) 回後に点 \(2\) にある石が, \(n+2\) 回後に点 \(2\) に戻ってくる」 ... [1] 確率は, \(\dfrac{3}{4}\) .
\(n = 1\) 以降, [1] を繰り返していれば, 印がつく点は \(1, 2, 3\) のみである.
ただし, [1] には, 石が点 \(1, 2\) のみの間を移動する場合が含まれていることに注意すれば \[ P _ n = \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-1}{2}} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n-1}{2}} \ . \]2* \(n\) が偶数のとき
\(n-1\) 回後まで, 1* の場合をみたすように, 点が移動していれば, \(n\) 回目の試行の結果によらず, 条件をみたすので \[ P _ n = P _ {n-1} = \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2} -1} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} -1} \ . \] 以上より, 求める確率は \[ P _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-1}{2}} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n-1}{2}} & ( \ n \ \text{が奇数のとき} ) \\ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2} -1} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} -1} & ( \ n \ \text{が偶数のとき} ) \end{array} \right.} \ . \]
【 参 考 】
\(n\) 回の試行後の点 \(1, 2, \cdots , 5\) にある確率を \(p _ n , q _ n , \cdots , t _ n\) とおくと
\(n\) が奇数のとき
\(q _ n +s _ n = 1\) なので, \(s _ n = 1 -q _ n\) なので, \(n \geqq 1\) について \[\begin{align} q _ {n+2} & = \dfrac{3}{4} q _ n +\dfrac{1}{4} s _ n \\ & = \dfrac{1}{2} q _ n +\dfrac{1}{4} , \\ \text{∴} \quad q _ {n+2} -\dfrac{1}{2} & = \dfrac{1}{2} \left( q _ n -\dfrac{1}{2} \right) \ . \end{align}\] したがって, これを繰返し用いれば \[ q _ n -\dfrac{1}{2} = \left( q _ 1 -\dfrac{1}{2} \right) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n-1}{2}} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n+1}{2}} \ . \] ゆえに \[\begin{align} q _ n & = \dfrac{1}{2} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n+1}{2}} , \\ s _ n & = 1-q _ n = \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n+1}{2}} \ . \end{align}\]\(n\) が偶数のとき
\(p _ n +r _ n +t _ n = 1\) に着目すれば, \(n \geqq 2\) について \[\begin{align} r _ {n+2} & = \dfrac{1}{2} p _ n +\dfrac{1}{2} r _ n +\dfrac{1}{2} t _ n = \dfrac{1}{2} , \\ p _ {n+2} & = \dfrac{1}{2} p _ n +\dfrac{1}{4} r _ n = \dfrac{1}{2} p _ n +\dfrac{1}{8} , \\ t _ {n+2} & = \dfrac{1}{2} t _ n +\dfrac{1}{4} r _ n = \dfrac{1}{2} t _ n +\dfrac{1}{8} \ . \end{align}\] 変形すると \[\begin{align} p _ {n+2} -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{1}{2} \left( p _ n -\dfrac{1}{4} \right) , \\ t _ {n+2} -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{1}{2} \left( t _ n -\dfrac{1}{4} \right) \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} p _ n -\dfrac{1}{4} & = \left( p _ 2 -\dfrac{1}{4} \right) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} -1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} \\ & \text{∴} \quad p _ n = \dfrac{1}{4} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} \\ t _ n -\dfrac{1}{4} & = \left( r _ 2 -\dfrac{1}{4} \right) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} -1} = -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} \\ & \text{∴} \quad t _ n = \dfrac{1}{4} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} \ . \end{align}\]
以上より \[ \begin{array}{c||c|c} n & \text{奇数のとき} & \text{偶数のとき} \\ \hline p _ n & \dfrac{1}{4} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} & 0 \\ \hline q _ n & 0 & \dfrac{1}{2} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n+1}{2}} \\ \hline r _ n & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \hline s _ n & 0 & \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n+1}{2}} \\ \hline t _ n & \dfrac{1}{4} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2} +1} & 0 \end{array} \]