座標平面上の \(2\) 点 A \(( -1 , 1 )\) , B \(( 1 , -1 )\) を考える. また, P を座標平面上の点とし, その \(x\) 座標の絶対値は \(1\) 以下であるとする. 次の条件 (i) または (ii) をみたす点 P の範囲を図示し, その面積を求めよ.
(i) 頂点の \(x\) 座標の絶対値が \(1\) 以上の \(2\) 次関数のグラフで, 点 A , P , B をすべて通るものがある.
(ii) 点 A , P , B は同一直線上にある.
【 解 答 】
条件 (ii) をみたす点 P は, 直線 AB 上の \(-1 \leqq x \leqq 1\) の部分であり
\[
y = x \quad ( -1 \leqq x \leqq 1 )
\]
続いて, 条件 (i) をみたす点 P は, \(2\) 点 A, B を通り, 頂点の \(x\) 座標の絶対値が \(1\) 以下の放物線 \(C\) の \(-1 \leqq x \leqq 1\) ... [1] の部分である.
放物線 \(y = ax^2 +bx +c \ (a \neq 0 )\) が, \(2\) 点 A, B を通るとき
\[\begin{align}
-1 & = a +b +c \\
1 & = a -b +c \\
\text{∴} \quad b & = -1 , \quad c = -a
\end{align}\]
なので, \(C\) の式は
\[\begin{align}
y & = ax^2 -x -a \\
& = a \left( x -\dfrac{1}{2a} \right)^2 -a -\dfrac{1}{4a}
\end{align}\]
条件 (i) より
\[\begin{align}
\left| \dfrac{1}{2a} \right| & \geqq 1 \\
| a | & \leqq \dfrac{1}{2} \\
\text{∴} \quad -\dfrac{1}{2} & \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}
\end{align}\]
このとき, \(C\) の式を \(a\) の関数とみれば
\[
y = ( x^2 -1 ) a -x
\]
[1] より \(x^2 -1 \leqq 0\) なので, 条件を満たす領域は
\[
\dfrac{x^2}{2} -x -\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq -\dfrac{x^2}{2} -x +\dfrac{1}{2} \quad ( \ y = -x \text{ を除く} )
\]
よって, 点 P の範囲は下図斜線部（境界含む）であり
この面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-1}^1 \left\{ \left( -\dfrac{x^2}{2} +x -\dfrac{1}{2} \right) -\left( \dfrac{x^2}{2} +x +\dfrac{1}{2} \right) \right\} \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 2^3 = \underline{\dfrac{4}{3}} \end{align}\]