\(\ell\) を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする. さらに, 以下の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) で定まる円 \(C _ 1 , C _ 2\) を考える.
(i) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は \(2\) つの不等式 \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) で定まる領域に含まれる.
(ii) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は直線 \(\ell\) と同一点で接する.
(iii) 円 \(C _ 1\) は \(x\) 軸と点 \(( 1 , 0 )\) で接し, 円 \(C _ 2\) は \(y\) 軸と接する.
円 \(C _ 1\) の半径を \(r _ 1\) , 円 \(C _ 2\) の半径を \(r _ 2\) とする. \(8 r _ 1 +9 r _ 2\) が最小となるような直線 \(\ell\) の方程式と, その最小値を求めよ.
【 解 答 】
\(C _ 1 , C _ 2\) の中心をそれぞれ A , B , \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の接点を H とおく.
ここで, \(\angle \text{AOH} = \theta \ ( 0 \lt \theta \lt 45^{\circ} )\) とおけば
\[
\text{OH} = 1 , \quad \angle \text{BOH} = 45^{\circ} -\theta
\]
なので
\[\begin{align}
r _ 1 & = \tan \theta , \\
r _ 2 & = \tan ( 45^{\circ} -\theta ) \\
& = \dfrac{1 -\tan \theta}{1 +1 \cdot \tan \theta} \\
& = \dfrac{2}{r _ 1 +1} -1
\end{align}\]
ここで, \(r _ 1\) のとりうる値の範囲は, \(0 \lt r _ 1 \lt 1\) .
したがって, 相加相乗平均の関係を用いれば
\[\begin{align}
8 r _ 1 +9 r _ 2 & = 8 r _ 1 -9 +\dfrac{18}{r _ 1 +1} \\
& = 8 ( r _ 1 +1 ) +\dfrac{18}{r _ 1 +1} -17 \\
& \geqq 2 \sqrt{8 ( r _ 1 +1 ) \cdot \dfrac{18}{r _ 1 +1}} -17 \\
& = 2 \cdot 12 -17 = 7
\end{align}\]
等号成立は
\[\begin{align}
8 ( r _ 1 +1 ) & = \dfrac{18}{r _ 1 +1} \\
( r _ 1 +1 )^2 & = \dfrac{9}{4} \\
\text{∴} \quad r _ 1 & = \dfrac{1}{2}
\end{align}\]
のときである.
よって, 求める最小値は \(\underline{7}\) であり, このときの \(\ell\) の式は
\[\begin{align}
y & = x \tan 2 \theta \\
& = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^2} x \\
& = \dfrac{4}{3} x
\end{align}\]
すなわち
\[
\underline{y = \dfrac{4}{3} x}
\]