多項式 \(P(x)\) を \[ P(x) = \dfrac{(x+i)^7 -(x-i)^7}{2i} \] により定める. ただし, \(i\) は虚数単位とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　 \[\begin{align} P(x) & = a _ 0 x^7 +a _ 1 x^6 +a _ 2 x^5 +a _ 3 x^4 \\ & \qquad +a _ 4 x^3 +a _ 5 x^2 +a _ 6 x +a _ 7 \end{align}\] とするとき, 係数 \(a _ 0 , \cdots , a _ 7\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) に対して \[ P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ.

3. (3)　(1) で求めた \(a _ 1 , a _ 3 , a _ 5 , a _ 7\) を用いて, 多項式 \(Q (x) = a _ 1 x^3 +a _ 3 x^2 +a _ 5 x^2 +a _ 7\) を考える. \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) として, \(k = 1, 2, 3\) について \[ x _ k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \] とおく. このとき, \(Q ( x _ k ) = 0\) が成り立つことを示し, \(x _ 1 + x _ 2 + x _ 3\) の値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} ( x+i )^7 & = x^7 +{} _ {7}\text{C} {} _ {1} i x^6 +{} _ {7}\text{C} {} _ {2} i^2 x^5 +{} _ {7}\text{C} {} _ {3} i^3 x^4 \\ & \qquad +{} _ {7}\text{C} {} _ {4} i^4 x^3 +{} _ {7}\text{C} {} _ {5} i^5 x^2 +{} _ {7}\text{C} {} _ {6} i^6 x +i^7 \\ & = x^7 +7i x^6 -21 x^5 -35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 +21i x^2 -7x -i \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の各項の係数を用いて, 符号に注意すれば \[\begin{align} ( x-i )^7 & = x^7 -7i x^6 -21 x^5 +35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 -21i x^2 -7x +i \quad ... [2] \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} P(x) & = \dfrac{[1] -[2]}{2i} \\ & = 7 x^6 -35 x^4 +21 x^2 -1 \quad ... [3] \ . \end{align}\] よって \[ ( a_0 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6 . a_7 ) = \underline{( 0 , 7 , 0 , -35 , 0 , 21 , 0 , -1 )} \ . \]

(2)

ド・モアブルの定理を用いれば \[\begin{align} P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) & = \dfrac{( \cos \theta +i \sin \theta )^7 -( \cos \theta -i \sin \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{( \cos 7 \theta +i \sin 7 \theta ) -( \cos 7 \theta -i \sin 7 \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \end{align}\]

(3)

\[ Q(x) = 7 x^3 -35 x^2 +21 x -1 \ . \] [3] と比較すれば \[ Q( x^2 ) = P(x) \ . \] これを用いると \[\begin{align} Q( x_k ) & = Q \left( \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \right) = P \left( \dfrac{\cos k \theta}{\sin k \theta} \right) \\ & = \dfrac{\sin 7 k \theta}{\sin^7 k \theta} \qquad( \ \text{∵} \ \text{(2)の結果} \ ) \\ & = \dfrac{\sin k \pi}{\sin^7 \frac{k \pi}{7}} \qquad ( \text{∵} \ \theta = \dfrac{\pi}{7} ) \\ & = 0 \ . \end{align}\] 関数 \(\dfrac{1}{\tan^2 u}\) が \(0 \lt u \lt \dfrac{\pi}{2}\) において単調減少するので, \(x_k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} = \dfrac{1}{\tan^2 \frac{k \pi}{7}} \ ( k = 1, 2, 3 )\) は, それぞれ異なる実数である.
\(Q(x) = 0\) は \(x\) の \(3\) 次方程式で, 高々 \(3\) つの実数解しか持たないので, \(x_1 , x_2 , x_3\) が \(Q(x) = 0\) の \(3\) つの解である.
よって, 解と係数の関係より \[ x_1 +x_2 +x_3 = -\dfrac{(-35)}{7} = \underline{5} \ . \]