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【 解 答 】

• \(x = 0\) のとき \[ 6 \cdot 1 +1 = 7 = 7 \cdot 1 \]

• \(x = 1\) のとき \[ 6 \cdot 27 +1 = 163 \neq 175 = 7 \cdot 25 \]

• \(x = 2\) のとき \[ 6 \cdot 729 +1 = 4375 = 7 \cdot 625 \]

以下では, \(x \geqq 3\) が解でないことを示す.
\(x \geqq 2\) のときに \(6 \cdot 3^{3x} +1 \geqq 7 \cdot 5^{2x}\) ... [1] が成立すると仮定すると \[\begin{align} 6 \cdot 27^{x+1} +1 & \geqq ( 25 +2 ) ( 7 \cdot 25^x -1 ) +1 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ )\\ & = 7 \cdot 25^{x+1} +14 \cdot 25^x -26 \\ & \gt 7 \cdot 25^{x+1} \end{align}\] したがって, 帰納的に \(n \geqq 3\) においては \[ 6 \cdot 3^{3x} +1 \gt 7 \cdot 5^{2x} \] よって, 求める解は \[ x = \underline{0 , 2} \]

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【 解 答 】

条件より \[\begin{align} \cos (n+1) \theta & = \dfrac{3}{2} \cos n \theta -\cos (n-1) \theta \\ 2 \cos n \theta \cos \theta & = \dfrac{3}{2} \cos n \theta \\ \cos n \theta \left( \cos \theta -\dfrac{3}{4} \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad \cos n \theta = 0 & , \ \cos \theta = \dfrac{3}{4} \end{align}\] \(\cos n \theta = 0\) のときを考えると, \(a_2 = a_3 = 0\) となるが \[ a_1 = \dfrac{3}{2} a_2 -a_3 = 0 \neq 1 \] で, 矛盾が生じる.
よって \[ \cos \theta = \underline{\dfrac{3}{4}} \]

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【 解 答 】

表の枚数が \(0\) 枚, \(1\) 枚, \(2\) 枚である状態をそれぞれ \(S_0 , S_1 , S_2\) とおく.
操作 \(1\) 回ごとの状態遷移は下図のようになる.

操作 \(n\) 回後に, \(S_0 , S_1 , S_2\) である確率をそれぞれ \(p_n , q_n , r_n\) とおくと \[\begin{align} p_0 & = q_0 = 0 , \ r_0 = 1 \\ p _ {n+1} & = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{2} q_n +\dfrac{1}{4} r_n \quad ... [1] \\ q _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} p_n +\dfrac{1}{2} q_n +\dfrac{1}{2} r_n \quad ... [2] \\ r _ {n+1} & = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{4} r_n \\ \end{align}\] \(p_n +q_n +r_n = 1\) なので, [2] より, \(n \geqq 1\) において \[ q_n = \dfrac{1}{2} \] [1] に代入すると \[ p _ {n+1} = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{2} -p_n\right) = \dfrac{3}{8} \] ゆえに, \(n \geqq 2\) において \[ p_n = \dfrac{3}{8} \] \(n=1\) のときは \[ p_1 = \dfrac{1}{4} \cdot 0 +\dfrac{1}{2} \cdot 0 +\dfrac{1}{4} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{4} & ( \ n = 1 \ \text{のとき} \ ) \\ \dfrac{3}{8} & ( \ n \geqq 2 \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

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【 解 答 】

\[ | f(-x) | = | -x^3 +3ax | = | x^3 -3ax | = | f(x) | \] なので, \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値について考えればよい. \[ f'(x) = 3x^2 -3a = 3 \left( x -\sqrt{3} \right) \left( x +\sqrt{3} \right) \] なので, \(0 \lt a \lt 1\) のとき, \(| f(x) |\) は極値をとる.
したがって, \(M\) の候補は \[\begin{align} | f(0) | & = 0 \\ | f(1) | & = | 1 -3a | = \left\{ \begin{array}{ll} 1 -3a & \left( \ a \lt \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \\ 3a -1 & \left( \ a \geqq \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \\ | f(a) | & = \left| a \sqrt{a} -3a \sqrt{a} \right| = 2 a^{\frac{3}{2}} \quad ( \ 0 \lt a \lt 1 \ \text{のとき} \ ) \end{align}\] これらの大小を比較すると, \(M\) のグラフは下図のようになる.

よって, \(M\) は \(a = \underline{\dfrac{1}{4}}\) のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{1}{4}}\) をとる.

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【 解 答 】

\(a = \left| \overrightarrow{a} \right|\) , \(b = \left| \overrightarrow{b} \right|\) とおくと, \(a \gt 0\) , \(b \gt 0\) .
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ab \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} ab \] を用いれば \[\begin{align} \left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|^2 & = a^2 +2ab +4 b^2 \ , \\ \left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|^2 & = 4 a^2 +2ab +b^2 \end{align}\] \(t = \dfrac{a}{b} ( \gt 0 )\) とおくと \[\begin{align} r^2 & = \dfrac{a^2 +2ab +4 b^2}{4 a^2 +2ab +b^2} \\ & = \dfrac{t^2 +2t +4}{4t^2 +2t +1} \end{align}\] これを変形して \[\begin{gather} ( 4t^2 +2t +1 ) r^2 = t^2 +2t +4 \\ \text{∴} \quad ( 4r^2 -1 ) t^2 +2 ( r^2 -1 ) t +r^2 -4 = 0 \quad ... [1] \end{gather}\] したがって, [1] が \(t \gt 0\) に解をもつ条件を求めればよい.

1. 1*　\(r = \dfrac{1}{2}\) のとき
   [1] より \[\begin{align} -2 \cdot \dfrac{3}{4} t -\dfrac{15}{4} & = 0 \\ \text{∴} \quad t = -\dfrac{5}{2} \end{align}\] これは, \(t \gt 0\) に解をもたないので不適.

2. 2*　\(r \neq \dfrac{1}{2}\) のとき
   \(4 r^2 -1 \gt 2 ( r^2 -1 ) \gt r^2 -4 \) であることに注意すれば, 正の実数解をもつ条件は \[\begin{gather} 4 r^2 -1 \gt 0 \ \text{かつ} \ r^2 -4 \lt 0 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{2} \lt r \lt 2 \end{gather}\]

以上より, 求める値の範囲は \[ \underline{\dfrac{1}{2} \lt r \lt 2} \]

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \left( a_k b_k -b a_k -a b_k +ab \right) \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab -nab +nab \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \end{align}\]

(2)

\(5\) 人の X ,Y それぞれの得点を \(x_k , y_k \ ( k = 1 , \cdots , 5 )\) として, 平均を \(\overline{x} , \overline{y}\) , 分散を \({s_X}^2 , {s_Y}^2\) , X と Y の共分散を \(s _ {XY}\) とおくと, (1) の結果も用いて \[\begin{align} \overline{x} & = \dfrac{x +21}{5} \ , \\ \overline{y} & = \dfrac{40}{5} = 8 \ , \\ {s_X}^2 & = \dfrac{x^2 +36 +16 +49 +16}{5} -\overline{x}^2 \\ & = \dfrac{x^2 +112}{5} -\dfrac{(x +21)^2}{25} \\ & = \dfrac{4 x^2 -42x +144}{25} , \\ {s_Y}^2 & = \dfrac{81 +49 +25 +100 +81}{5} -\overline{y}^2\\ & = \dfrac{336}{5} -64 = \dfrac{16}{5} \ , \\ s _ {XY} & = \dfrac{1}{5} \textstyle\sum\limits _ {i=k}^{n} x_k y_k -\overline{x} \overline{y} \\ & = \dfrac{9x +42 +20 +70 +36}{5} -\dfrac{x +21}{5} \cdot 8 \\ & = \dfrac{9x +168}{5} -\dfrac{8x +168}{5} \\ & = \dfrac{x}{5} \end{align}\] よって, 求める値は \[\begin{align} r_{XY} & = \dfrac{s _ {XY}}{s_X s_Y} \\ & = \dfrac{\dfrac{x}{5}}{\dfrac{\sqrt{4 x^2 -42x +144}}{5} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{5}}} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}}} \end{align}\]

(3)

条件より \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}} & = \dfrac{\sqrt{5} (x+2)}{4 \sqrt{4 (x+2)^2 -42(x+2) +144}} \\ 5 x^2 ( 4 x^2 -26x +76 ) & = 5 (x+2)^2 ( 4 x^2 -42x +144 ) \\ 20 x^4 -130 x^3 +380 x^2 & = 20 x^4 -130x^3 +464 x^2 -408 x -576 \\ 7x^2 -34 x -48 & = 0 \\ ( x -6 ) ( 7x +8 ) & = 0 \\ \end{align}\] \(x\) は \(0\) 以上の整数なので \[ x = 6 \] このとき, \(\sqrt{5} = 2.236 \cdots\) を用いて \[ r _{XY} = \dfrac{6 \sqrt{5}}{4 \sqrt{36}} = \dfrac{\sqrt{5}}{4} = 0.559 \cdots \] なので, 小数第 \(2\) 位を四捨五入して \[ r _{XY} = \underline{0.6} \]

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