空間内に, 直線 \(l\) で交わる \(2\) 平面 \(\alpha , \beta\) と交線 \(l\) 上の \(1\) 点 O がある. さらに, 平面 \(\alpha\) 上の直線 \(m\) と平面 \(\beta\) 上の直線 \(n\) を, どちらも点 O を通り \(l\) に垂直にとる. \(m , n\) 上にそれぞれ点 P , Q があり, \[ \text{OP} = \sqrt{3} , \quad \text{OQ} = 2 , \quad \text{PQ} = 1 \] であるとする. 線分 PQ 上の動点 T について, \(\text{PT} = t\) をおく. 点 T を中心とした半径 \(\sqrt{2}\) の球を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積を \(t\) を用いて表せ.
(2) \(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積と \(S\) の平面 \(\beta\) による切り口の面積の和を \(f(t)\) とおく. T が線分 PQ 上を動くとき, \(f(t)\) の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
△ OPQ は上図のような直角三角形で, \(t\) のとりうる値の範囲は \(0 \leqq t \leqq 1\) ... [1] .
\(S\) の \(\alpha\) による切り口は円で, その半径を \(r_t\) とおくと
\[
r_t = \sqrt{2 -t^2} \ .
\]
よって, 求める面積は
\[
\underline{\pi \left( 2 -t^2 \right)} \ .
\]
(2)
T から OQ に下した垂線の足を H とおくと, \(\triangle \text{OPQ} \sim \triangle \text{THQ}\) なので \[ \text{TH} = \dfrac{\sqrt{3} ( 1-t )}{2} \ . \] \(S\) の \(\beta\) による切り口は円で, その半径を \(R_t\) とおくと \[ R_t = \sqrt{2 -\dfrac{3}{4} (1-t)^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{5 +6t -3 t^2} \ . \] したがって \[\begin{align} f(t) & = \pi \left( {r_t}^2 +{R_t}^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left( 13 +6t -7t^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left\{ -7 \left( t -\dfrac{3}{7} \right)^2 +\dfrac{100}{7} \right\} \ . \end{align}\] よって, [1] の範囲で, \(f(t)\) は \(t = \underline{\dfrac{3}{7}}\) のとき, 最大値 \[ f \left( \dfrac{3}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{100}{7} =\underline{\dfrac{25 \pi}{7}} \] をとる.