\(xy\) 平面の直線 \(y = \left( \tan 2 \theta \right) x\) を \(\ell\) とする. ただし, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) とする. 図で示すように, 円 \(C _ 1 , C _ 2\) を以下の (i) ～ (iv) で定める.
(i) 円 \(C _ 1\) は直線 \(\ell\) および \(x\) 軸の正の部分と接する.
(ii) 円 \(C _ 1\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 1\) は \(\sin 2 \theta\) である.
(iii) 円 \(C _ 2\) は直線 \(\ell\) , \(x\) 軸の正の部分, および円 \(C _ 1\) と接する.
(iv) 円 \(C _ 2\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 2\) は \(d _ 1 \gt d _ 2\) を満たす.
円 \(C _ 1\) と円 \(C _ 2\) の共通接線のうち, \(x\) 軸, 直線 \(\ell\) と異なる直線を \(m\) とし, 直線 \(m\) と直線 \(\ell\) , \(x\) 軸との交点をそれぞれ P , Q とする.
(1) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) の半径を \(\sin \theta , \cos \theta\) を用いて表せ.
(2) \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) の範囲を動くとき, 線分 PQ の長さの最大値を求めよ.
(3) (2) の最大値を与える \(\theta\) について直線 \(m\) の方程式を求めよ.
【 解 答 】
(1)
円 \(C_1 , C_2\) の半径をそれぞれ \(r_1 , r_2\) とおく.
円 \(C_1 , C_2\) の接点を R , それぞれの中心を \(\text{O} {} _ 1 , \text{O} {} _ 2\) , \(x\) 軸との接点を \(\text{H} {} _ 1 , \text{H} {} _ 2\) とおく.
\(d_1 = \sin 2 \theta\) , \(\angle \text{O} {} _ 1 \text{OH} {} _ 1 = \theta\) なので
\[
r_1 = \sin 2 \theta \cdot \sin \theta = \underline{2 \sin^2 \theta \cos \theta} \ .
\]
\(d_2 = \dfrac{r_2}{\sin \theta}\) であり, \(d_1 = d_2 +r_1 +r_2\) なので
\[\begin{gather}
\dfrac{r_2}{\sin \theta} +r_2 +2 \sin^2 \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\
\text{∴} \quad r_2 = \underline{\dfrac{2 \sin^2 \theta \cos \theta ( 1 -\sin \theta )}{1 +\sin \theta}} \ .
\end{gather}\]
(2)
\[\begin{align}
\text{OR} & = \dfrac{( 1 +\sin \theta ) r_2}{\sin \theta} \\
& = 2 \sin \theta \cos \theta ( 1 -\sin \theta ) \ .
\end{align}\]
R は PQ の中点なので
\[\begin{align}
\text{PQ} & = 2 \tan \theta \cdot \text{OR} \\
& = 4 \sin ^2 \theta ( 1 -\sin \theta ) \ .
\end{align}\]
\(x = \sin \theta\) とおくと, \(0 \lt x \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ... [1] .
\(f(x) = x^2 ( 1-x )\) とおくと
\[
f'(x) = 2x -3x^2 = x ( 2 -3x ) \ .
\]
したがって, [1] における \(f(x)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} x & ( 0 ) & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
ゆえに, \(f(x)\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{2}{3} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27} \ .
\]
よって, PQ の長さの最大値は
\[
4 \cdot \dfrac{4}{27} = \underline{\dfrac{16}{27}} \ .
\]
(3)
\(\sin \theta = \dfrac{2}{3}\) のとき \[ \cos \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \ , \ \tan \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \ . \] 直線 \(m\) は OR と垂直なので, 傾きは \[ \tan \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) = -\dfrac{1}{\tan \theta} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \ . \] また \[\begin{align} \text{OQ} & = \dfrac{\text{OR}}{\cos \theta} = 2 \sin \theta ( 1 -\sin \theta ) \\ & = 2 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} \ . \end{align}\] よって, このときの \(m\) の式は \[ \underline{y = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \left( x -\dfrac{4}{9} \right)} \ . \]