複素数平面上を動く点 \(z\) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) 等式 \(| z-1 | = | z+1 |\) を満たす点 \(z\) の全体は虚軸であることを示せ.
(2) 点 \(z\) が原点を除いた虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{z+1}{z}\) が描く図形は直線から \(1\) 点を除いたものとなる. この図形を描け.
(3) \(a\) を正の実数とする. 点 \(z\) が虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{za+1}{z-a}\) が描く図形は円から \(1\) 点を除いたものとなる. この円の中心と半径を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(z\) は, 点 \(1\) と点 \(-1\) の垂直二等分線を表すので, 虚軸を表す.
(2)
条件より \[\begin{align} zw & = z+1 \\ z ( w-1 ) & = 1 \end{align}\] \(w \neq 1\) ... [1] であり \[ z = \dfrac{1}{w-1} \quad ... [2] \ . \] \(z\) が虚軸上の原点以外を動くので \[ z = -\overline{z} \quad ... [3] \ , \quad z \neq 0 \quad ... [4] \ . \] それぞれに, [2] を代入すると
- [3] について \[\begin{align} \dfrac{1}{w-1} & = -\dfrac{1}{\overline{w} -1} \\ \overline{w} -1 & = -( w-1 ) \\ w +\overline{w} & = 2 \\ \text{∴} \quad \mathrm{Re} (w) & = 1 \end{align}\]
- [4] について \[ \dfrac{1}{w-1} \neq 0 \] これは, 常に成立する.
よって, \(w\) の描く図形は, 下図の通り（〇は除く）.
(3)
条件より
\[\begin{align}
z ( w-a ) & = z+1 \\
z ( w-1 ) = aw +1
\end{align}\]
\(w \neq 1\) ... [5] であり
\[
z = \dfrac{aw +1}{w-1} \quad ... [6] \ .
\]
\(z\) が虚軸上を動くので
\[
z = -\overline{z}
\]
これに, [6] を代入すれば
\[\begin{align}
\dfrac{aw +1}{w-1} & = -\dfrac{a \overline{w} +1}{\overline{w} -1} \\
( \overline{w} -1 ) ( wa +1 ) & = -( w-1 ) ( a \overline{w} +1 ) \\
a |w|^2 +\overline{w} -aw -1 & = -a |w|^2 -w +a \overline{w} +1 \\
2a |w|^2 -(a-1)w -(a-1) \overline{w} & = 2
\end{align}\]
\(a \neq 0\) なので, 両辺を \(2a\) で割って
\[\begin{align}
\left( w -\dfrac{a-1}{2a} \right) \left( \overline{w} -\dfrac{a-1}{2a} \right) & = \dfrac{(a-1)^2}{4a^2} +\dfrac{1}{a} \\
\left| w -\dfrac{a-1}{2a} \right|^2 & = \dfrac{(a+1)^2}{4a^2} \\
\text{∴} \quad \left| w -\dfrac{a-1}{2a} \right| & = \dfrac{a+1}{4a}
\end{align}\]
よって, \(w\) の描く図形は, 点 \(1\) を除いた円であり,
中心は, \(\underline{\text{点} \ \dfrac{a-1}{2a}}\) , 半径は \(\underline{\dfrac{a+1}{4a}}\) である.