四面体 OABC があり, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とする. 三角形 ABC の重心を G とする. 点 D , E , P を \(\overrightarrow{\text{OD}} = 2 \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OE}} = 3 \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OP}} = 6 \overrightarrow{\text{OG}}\) をみたす点とし, 平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(2) 三角形 ADE の面積を \(S _ 1\) , 三角形 QDE の面積を \(S _ 2\) とするとき, \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ.
(3) 四面体 OADE の体積を \(V _ 1\) , 四面体 PQDE の体積を \(V _ 2\) とするとき, \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[
\overrightarrow{\text{OP}} = 2 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)
\]
Q は 線分 OP 上の点なので \(t \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) を用いて
\[
\overrightarrow{\text{OQ}} = 2 t \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)
\]
と表せる.
また
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OQ}} & = 2 t \overrightarrow{a} +t \cdot 2 \overrightarrow{b} +\dfrac{2t}{3} \cdot 3 \overrightarrow{c} \\
& = 2t \overrightarrow{\text{OA}} +t \overrightarrow{\text{OD}} +\dfrac{2t}{3} \overrightarrow{\text{OE}}
\end{align}\]
Q は 平面 ADE 上の円なので
\[\begin{align}
2t +t +\dfrac{2t}{3} & = 1 \\
\text{∴} \quad t = \dfrac{3}{11}
\end{align}\]
よって
\[
\overrightarrow{\text{OQ}} = \underline{\dfrac{6}{11} \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)}
\]
(2)
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OQ}} & = \dfrac{6}{11} \overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{3}{11} \overrightarrow{\text{OD}} +\dfrac{2}{11} \overrightarrow{\text{OE}} \\
& = \dfrac{6}{11} \overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{5}{11} \left( \dfrac{3}{5} \overrightarrow{\text{OD}} +\dfrac{2}{5} \overrightarrow{\text{OE}} \right)
\end{align}\]
なので, DE を \(2:3\) で内分する点を R とすれば, Q は AR を \(5:6\) に内分する点である.
よって
\[
\dfrac{S _ 2}{S _ 1} = \dfrac{\text{QR}}{\text{AR}} = \underline{\dfrac{6}{11}}
\]
(3)
\[ \text{OQ} : \text{QP} = \dfrac{6}{11} : \left( 2 -\dfrac{6}{11} \right) = 3:8 \] よって \[\begin{align} \dfrac{V _ 2}{V _ 1} & = \dfrac{S_2 \cdot \text{QP}}{S_1 \cdot \text{OQ}} & = \dfrac{6 \cdot 8}{11 \cdot 3} = \underline{\dfrac{16}{11}} \end{align}\]