\(xy\) 平面上に楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{4} +y^2 = 1\) がある. 次の問いに答えよ.

1. (1)　点 P \(( a , b )\) を通る \(C\) の接線が \(2\) 本あり, それらが直交するとき , \(a , b\) が満たす条件を求めよ.

2. (2)　\(C\) に外接する長方形のうち, \(x\) 座標が \(1\) で \(y\) 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ.

【 解 答 】

(1)

1. 1*　\(a = \pm 2\) のとき
   明らかに, \(2\) 本の接線は, \(x = \pm 2 , \ y = \pm 1\) (複号任意) であり \[ ( a , b ) = ( \pm 2 , \pm 1 ) \quad ( \ \text{複号任意} \ ) \]

2. 2*　\(a \neq \pm 2\) のとき
   P における接線は傾き \(m\) を用いて \[ y = m ( x-a ) +b \] と表せる.
   \(C\) の式に代入すると \[\begin{align} x^2 +4 ( mx +b-ma )^2 & = 4 \\ ( 4m^2 +1 ) x^2 +8m ( b-ma ) x +4( b-ma )^2 -4 & = 0 \end{align}\] この方程式が重解をもつので, 判別式を \(D\) とおけば \[\begin{align} \dfrac{D}{4} = 16m^2 ( b-ma )^2 -4 ( 4m^2 +1 ) \left\{ ( b-ma )^2 -1 \right\} & = 0 \\ -( b-ma )^2 +4m^2 +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad ( 4 -a^2 ) m^2 +2ab m +1 -b^2 & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] \(4 -a^2 \neq 0\) なので, [1] は \(m\) に関する \(2\) 次方程式であり, \(2\) 解を \(s , t\) とおけば, 解と係数の関係より \[ s+t = -\dfrac{2ab}{4 -a^2} , \ st = \dfrac{1 -b^2}{4 -a^2} \quad ... [2] \] 接線が直交するのは, \(st = -1\) のときなので \[\begin{align} \dfrac{1 -b^2}{4 -a^2} & = -1 \\ \text{∴} \quad a^2 +b^2 & = 5 \end{align}\] これは, 1* のときもみたしている.

以上より, 求める条件は \[ \underline{a^2 +b^2 = 5} \]

(2)

(1) の結果より, P \(( 1 , 2 )\) .
P を通り直交する \(2\) 本の接線の式は \[ y = s (x-1) +2 , \ y = t (x-1) +2 \] と表せる.
各接線と原点との距離を \(h_s , h_t\) とおけば \[ h_s = \dfrac{| 2-s |}{\sqrt{s^2 +1}} , \ h_t = \dfrac{| 2-t |}{\sqrt{t^2 +1}} \] [2] に \(( a , b ) = ( 1 , 2 )\) を代入すれば \[\begin{align} s+t & = -\dfrac{2 \cdot 2}{4-1^2} = -\dfrac{4}{3} \ , \\ st & = \dfrac{1-2^2}{4-1^2} = -1 \end{align}\] さらに \[\begin{align} s^2 t^2 & = 1 \ , \\ s^2 +t^2 & = (s+t)^2 -2st \\ & = \dfrac{16}{9} +2 = \dfrac{34}{9} \end{align}\] これらを用いれば, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = 4 h_s h_t \\ & = 4 \cdot \dfrac{| (2-s) (2-t) |}{\sqrt{( s^2 +1 ) ( t^2 +1 )}} \\ & = 4 \cdot \dfrac{\left| 4 -2 \left( -\dfrac{4}{3} \right) -1 \right|}{1 +\dfrac{34}{9} +1} \\ & = 4 \cdot \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{2 \sqrt{13}}{3}} \\ & = \underline{\dfrac{34}{\sqrt{13}}} \end{align}\]