正方形 ABCD を底面, 点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える. ただし, 正四角錐とは, 頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である. 線分 AB の中点を M とし, 線分 AM および 線分 PM の長さをそれぞれ \(a , b\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 内接する球の半径を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) \(x = \dfrac{b}{a}\) と定めるとき, \(\dfrac{\text{内接する球の表面積}}{\text{正四角錐 PABCD の表面積}}\) を \(x\) で表し, その最大値を求めよ.
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を \(a\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
線分 CD の中点を N として, △PMN について考える.
求める半径を \(r\) とおけば
\[\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot 2a \sqrt{b^2 -a^2} & = \dfrac{1}{2} ( 2b +2a ) r \\
\text{∴} \quad r & =\underline{\dfrac{a \sqrt{b^2 -a^2}}{a+b}}
\end{align}\]
(2)
\(b \gt a\) なので, \(x \gt 1\) ... [1] .
内接球, 正四角錐の表面積をそれぞれ \(S , T\) とおけば
\[\begin{align}
S & = 4 \pi r^2 = \dfrac{4 \pi a^2 ( b^2 -a^2 )}{(a+b)^2} \ , \\
T & = (2a)^2 +4 \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot b \\
& = 4a (a+b)
\end{align}\]
なので
\[
\dfrac{S}{T} = \dfrac{\pi a ( b^2 -a^2 )}{(a+b)^3} = \underline{\dfrac{x^2 -1}{(x+1)^3} \pi}
\]
\(f(x) = \dfrac{S}{\pi T}\) とおくと
\[\begin{align}
f'(x) & = \dfrac{2x}{(x+1)^3} -\dfrac{3 ( x^2 -1 )}{(x+1)^4} \\
& = \dfrac{2x (x+1) -3( x^2 -1 )}{(x+1)^4} \\
& = -\dfrac{( x+1 ) ( x-3 )}{(x+1)^4}
\end{align}\]
したがって. [1] における \(f(x)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} x & (1) & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow \end{array}
\]
よって, 求める最大値は
\[
\pi f(3) = \dfrac{3^2 -1}{4^3} \pi = \underline{\dfrac{\pi}{8}}
\]
(3)
\(b = 3a\) なので, 求める体積 \(V\) は \[ V = \dfrac{1}{3} ( 2a )^2 \sqrt{(3a)^2 -a^2} = \underline{\dfrac{8 \sqrt{2}}{3} a^3} \]