\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(xy\) 平面上の点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) へ引いた接線を考える. 次の問に答えよ.
(1) 直線 \(y = m(x-p) +q\) が曲線 \(y = f(x)\) の接線となるための条件を \(m , p , q\) を用いて表せ.
(2) 点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) に \(3\) 本の接線を引くことができるとき, \(p , q\) の条件を求めよ.
(3) (2) の条件を満たす点 \(( p , q )\) の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\[ f'(x) = 3x^2 -1 \] なので, 点 \(\left( t , f(t) \right)\) における \(y = f(x)\) の接線の式は \[\begin{align} y & = ( 3 t^2 -1 ) ( x-t ) +t^3 -t \\ & = ( 3 t^2 -1 ) x -2 t^3 \quad ... [1] \end{align}\] この傾きが \(m\) なので \[\begin{align} 3 t^2 -1 & = m \\ \text{∴} \quad t & = \pm \sqrt{\dfrac{m+1}{3}} \quad ... [2] \end{align}\] また, 点 \(( p , q )\) を通るので \[ q = ( 3 t^2 -1 ) p -2 t^3 \] よって, [2] を代入すれば \[ \underline{q = mp \pm 2 \left( \dfrac{m+1}{3} \right)^{\frac{3}{2}}} \]
(2)
[1] を整理すると \[ 2 t^3 -3p t^2 +p +q = 0 \quad ... [\text{1'}] \] \(t\) についての方程式 [1'] が, 異なる \(3\) つの解を持てばよい.[1'] の左辺を \(g(t)\) とおくと \[ g'(t) = 6t ( t-p ) \] したがって, 求める条件は \[ p \neq 0 \quad ... [3] \ \text{かつ} \ f(0) f(p) \lt 0 \quad ... [4] \] [4] について \[ ( p+q ) ( p^3 -p -q ) \gt 0 \] \(p = 0\) のとき, \(( \text{左辺} ) = -q^2 \leqq 0\) なので, これは [3] もみたしている.
よって, 求める条件は \[ \underline{( p+q ) ( p^3 -p -q ) \gt 0} \]
(3)
\(g(p) = p^3 -p\) とおけば
\[
g'(p) = 3p^2 -1 = 3 \left( p +\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \left( p -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)
\]
なので, \(g(p)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} p & \cdots & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \cdots \\ \hline g'(p) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(p) & \nearrow & \dfrac{2 \sqrt{3}}{9} & \searrow & -\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}
\]
\(g'(0) = -1\) なので, 原点で \(q = g(p)\) と \(q = -p\) は接する.
よって, 求める領域は下図斜線部（境界は含まない）.
