\(x , y\) を正の整数とする.

1. (1)　\(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{4}\) をみたす組 \((x, y)\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{p}\) をみたす組 \((x, y)\) のうち, \(2x+3y\) を最小にする \((x, y)\) を求めよ.

【 解 答 】

(1)

与式より \[\begin{align} 8y+4x & = xy \\ \text{∴} \quad (x-8)(y-4) & =32 \end{align}\] \(x \geqq 1 , \ y \geqq 1\) より, \(x-8 \geqq -7 , \ y-4 \geqq -3\) なので \[\begin{align} ( x-8 , y-4 ) & = ( 1, 32 ) , ( 2, 16 ) , ( 4, 8 ) , ( 8, 4 ) , ( 16, 2 ) , ( 32, 1 ) \\ \text{∴} \quad ( x, y ) & = \underline{( 9 , 36 ) , ( 10 , 20 ) , ( 12 , 12 ) , ( 16 , 8 ) , ( 24 , 6 ) , ( 40 , 5 )} \end{align}\]

(2)

与式より \[\begin{align} 2py+px & =xy \\ \text{∴} \quad (x-2p)(y-p) & = 2p^2 \end{align}\] \(x \geqq 1 , \ y \geqq 1\) より, \(x-2p \geqq 1-2p , \ y-p \geqq 1-p\) なので \[\begin{align} ( x-2p , y-p ) & = ( 1 , 2p^2 ) , ( 2 , p^2 ) , ( p , 2p ) , ( 2p , p ) , ( p^2 , 2 ) , ( 2p^2 , 1 ) \\ \text{∴} \quad ( x , y ) & = \left( 2p+1 , p(2p+1) \right) , \left( 2(p+1) , p(p+1) \right) , \\ & \qquad \left( 3p , 3p \right) , \left( 4p , 2p \right) , \left( p(p+2) , p+2 \right) , \left( 2p(p+1) , p+1 \right) \end{align}\] このうち, \(2x+3y\) を最小にするものを探す. \[ 2 \cdot 4p +3 \cdot 2p =14p \] これに対して, \(p \geqq 3\) を用いて, 大小を比較すると \[\begin{align} & 2 \cdot 3p +3 \cdot 3p -14p =p \gt 0 , \\ & 2 (2p+1) +3 p(2p+1) -14p = 6p^2 -7p +2 \\ & \qquad \geqq 11p+2 \gt 0 , \\ & 2 \cdot 2(p+1) +3 p(p+1) -14p = 3p^2 -7p +2 \\ & \qquad \geqq 2p+2 \gt 0 , \\ & 2 \cdot p(p+2) +3 (p+2) -14p = 2p^2 -7p +6 \\ & = 2\left( p -\dfrac{7}{4} \right)^2 -\dfrac{1}{8} \gt 0 , \\ & 2 \cdot 2p(p+1) +3 (p+1) -14p = 4p^2 -7p +3 \\ & \qquad \geqq 5p+3 \gt 0 \end{align}\] なので, 最小となる組は \[ \underline{( 4p , 2p )} \]