\(X , Y , Z\) と書かれたカードがそれぞれ \(1\) 枚ずつある. この中から \(1\) 枚のカードが選ばれたとき, \(xy\) 平面上の点 \(P\) を次の規則にしたがって移動する.

• \(X\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(x\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.

• \(Y\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(y\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.

• \(Z\) のカードが選ばれたとき, \(P\) は移動せずそのままの位置にとどまる.

1. (1)　\(n\) を正の整数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカードと \(Y\) のカードの \(2\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.

   1. (i)　\(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.

   2. (ii)　\(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.

2. (2)　\(n\) を正の \(3\) の倍数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカード, \(Y\) のカード, \(Z\) のカードの \(3\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.

   1. (i)　\(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.

   2. (ii)　\(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.

【 解 答 】

(1)

(i)

\(x\) 座標と \(y\) 座標がともに \(0\) 以上で, 和が \(n\) となる点なので \[ ( 0 , n ) , ( 1 , n-1 ) \cdots ( n , 0 ) \] ゆえに \[ \underline{n+1} \quad \text{個} \]

(ii)

\(P\) が点 \(( k , n-k ) \ ( 0 \leqq k \leqq n )\) となる確率を \(p _ k\) とおくと \[\begin{align} p _ k & = {} _ {n} \text{C} {} _ {k} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-k} \\ & = \dfrac{n!}{k! (n-k)!} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \end{align}\] したがって, \(\dfrac{p _ {k+1}}{p _ k}\) と \(1\) の大小を比較すると \[\begin{align} \dfrac{p _ {k+1}}{p _ k} & = \dfrac{\frac{n!}{(k+1)! (n-k-1)!}}{\frac{n!}{k! (n-k)!}} \\ & = \dfrac{n-k}{k+1} \gt 1 \\ \text{∴} \quad k & \lt \dfrac{n-1}{2} \end{align}\]

1. 1*　\(n\) が偶数のとき \[ \left\{ \begin{array}{ll} p _ {k+1} \gt p _ k & \left( \ 1 \leqq k \leqq \dfrac{n}{2} \text{のとき} \right) \\ p _ {k+1} \lt p _ k & \left( \ \dfrac{n}{2}+1 \leqq k \leqq n-1 \text{のとき} \right) \end{array} \right. \] なので \[ p _ 1 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n}{2}-1} \lt p _ {\frac{n}{2}} \gt p _ {\frac{n}{2}+1} \gt \cdots \gt p _ n \] ゆえに, \(p _ {\frac{n}{2}}\) が最大である.

2. 2*　\(n\) が奇数のとき \[ \left\{ \begin{array}{ll} p _ {k+1} \gt p _ k & \left( \ 1 \leqq k \leqq \dfrac{n-3}{2} \text{のとき} \right) \\ p _ {k+1} = p _ k & \left( \ k = \dfrac{n-1}{2} \text{のとき} \right) \\ p _ {k+1} \lt p _ k & \left( \ \dfrac{n+1}{2} \leqq k \leqq n-1 \text{のとき} \right) \end{array} \right. \] なので \[ p _ 1 \lt p _ 2 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n-3}{2}} \lt p _ {\frac{n-1}{2}} = p _ {\frac{n+1}{2}} \gt p _ {\frac{n+3}{2}} \gt \cdots \gt p _ n \] ゆえに, \(p _ {\frac{n-1}{2}} , p _ {\frac{n+1}{2}}\) が最大である.

以上より, 求める点は

• \(n\) が偶数のとき, \(\underline{\left( \dfrac{n}{2} , \dfrac{n}{2} \right)}\)

• \(n\) が奇数のとき, \(\underline{\left( \dfrac{n-1}{2} , \dfrac{n+1}{2} \right) , \left( \dfrac{n+1}{2} , \dfrac{n-1}{2} \right)}\)

(2)

(i)

\(X\) が \(n-k-\ell\) 回, \(Y\) が \(k\) 回, \(Z\) が \(\ell\) 回（ \(0 \leqq k+\ell \leqq n\) ）選ばれたとき, 点 \(P\) は \(( n-k-\ell , k )\) に移動する.
\(0 \leqq \ell \leqq n\) なので, (1) の結果を用いれば, 求める個数は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {\ell=0}^{n} (n-\ell+1) & = \textstyle\sum\limits _ {\ell=0}^{n} (\ell+1) \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} (n+1)(n+2)} \quad \text{個} \end{align}\]

(ii)

\(\ell\) を定数とみなせば, (1) の結果より

• \(n-\ell\) が偶数のとき, 点 \(\left( \dfrac{n-\ell}{2} , \dfrac{n-\ell}{2} \right)\) に達する確率 \[ \dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell}{2} \right)! \left( \frac{n-\ell}{2} \right)! \ell !} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \]

• \(n-\ell\) が奇数のとき, 点 \(\left( \dfrac{n-\ell pm 1}{2} , \dfrac{n-\ell \mp 1}{2} \right)\) に達する確率 \[ \dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell-1}{2} \right)! \left( \frac{n-\ell+1}{2} \right)! \ell !} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \]

が最大となる. この確率を \(q _ {\ell}\) とおく.

1. 1*　\(n-\ell\) が偶数のとき
   \(\dfrac{q _ {\ell+1}}{q _ {\ell}}\) と \(1\) の大小を比較すると \[\begin{align} \dfrac{q _ {\ell+1}}{q _ {\ell}} & = \dfrac{\dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell}{2} \right) ! \left( \frac{n-\ell}{2}-1 \right) ! ( \ell+1 ) !}}{\dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell}{2} \right) ! \left( \frac{n-\ell}{2} \right)! \ell !}} \\ & = \dfrac{n-\ell}{2(\ell+1)} \gt 1 \\ \text{∴} \quad \ell & \lt \dfrac{n-2}{3} \end{align}\] \(n\) は \(3\) の倍数なので \[ q _ 0 \lt \cdots \lt q _ {\frac{n}{3}-1} \lt q _ {\frac{n}{3}} \gt q _ {\frac{n}{3}+1} \gt \cdots \gt q _ n \]

2. 2*　\(n-\ell\) が奇数のとき
   \(\dfrac{q _ {\ell+1}}{q _ {\ell}}\) と \(1\) の大小を比較すると \[\begin{align} \dfrac{q _ {\ell+1}}{q _ {\ell}} & = \dfrac{\dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell-1}{2} \right) ! \left( \frac{n-\ell+1}{2}-1 \right) ! ( \ell+1 ) !}}{\dfrac{n!}{\left( \frac{n-\ell-1}{2} \right) ! \left( \frac{n-\ell+1}{2} \right)! \ell !}} \\ & = \dfrac{n-\ell+1}{2(\ell+1)} \gt 1 \\ \text{∴} \quad \ell & \lt \dfrac{n-1}{3} \end{align}\] \(n\) は \(3\) の倍数なので \[ q _ 0 \lt \cdots \lt q _ {\frac{n}{3}-1} \lt q _ {\frac{n}{3}} \gt q _ {\frac{n}{3}+1} \gt \cdots \gt q _ n \]

1* 2* より, \(\ell = \dfrac{n}{3}\) のとき, \(q _ {\ell}\) は最大となる.
このとき \[ n-\ell = n-\dfrac{n}{3} = \dfrac{2n}{3} \] で偶数となることから, 求める点は \[ \underline{\left( \dfrac{n}{3} , \dfrac{n}{3} \right)} \]