一辺の長さが \(2\) の正三角形 ABC を平面上におく. △ABC を \(1\) つの辺に関して \(180^{\circ}\) 折り返すという操作を繰り返し行う. 辺 BC に関する折り返しを \(T _ A\) , 辺 CA に関する折り返しを \(T _ B\) , 辺 AB に関する折り返しを \(T _ C\) とする. △ABC は, 最初 \(3\) 点 A , B , C がそれぞれ平面上の \(3\) 点 O , B' , C' の上に置かれているとする.
(1) \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ C , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を P とする. \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ A , T _ C , T _ B , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を Q とする. \(\theta = \angle \text{POQ}\) とするとき, \(\cos \theta\) の値を求めよ.
(2) 整数 \(k , l\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OR}} = 3k \overrightarrow{\text{OB'}} +3l \overrightarrow{\text{OC'}}\) により定められる点 R は, \(T _ A , T _ B , T _ C\) の折り返し操作を組み合わせることにより, 点 A の移り先になることを示せ.
【 解 答 】
(1)
O が原点, B' \(( 2 , 0 )\) , C' \(( 1 , \sqrt{3} )\) となるように座標平面をとる.
P , Q の移り先は下図のようになり, P \(( 6 , 2\sqrt{3} )\) , Q \(( 9 , \sqrt{3} )\) となる.
したがって \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| & = 4\sqrt{3} , \\ \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| & = \sqrt{9^2+3} =2\sqrt{21} , \\ \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} & = 6 \cdot 9 +2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 60 \end{align}\] これらを用いれば \[\begin{align} \cos \theta & = \dfrac{\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}}}{\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right|} \\ & = \dfrac{60}{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{21}} = \underline{\dfrac{5 \sqrt{7}}{14}} \end{align}\]
(2)
\(T _ A , T _ C , T _ B , T _ A , T _ C , T _ B\) ... [A] と操作を行うと, 点 A の移り先の点 D は, \(\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OB'}}\) をみたし, △ABC の向きは始めと同じである.
\(T _ A , T _ B , T _ C , T _ A , T _ B , T _ C\) ... [B] と操作を行うと, 点 A の移り先の点 E は, \(\overrightarrow{\text{OE}} = 3\overrightarrow{\text{OC'}}\) をみたし, △ABC の向きは始めと同じである.
よって, [A] を \(k\) 回, [B] を \(l\) 回行えば, A は R に移ることができる.