座標平面の点 \((x,y)\) を \(( 3x+y , -2x )\) へ移す移動 \(f\) を考え, 点 P が移る先を \(f( \text{P} )\) と表す. \(f\) を用いて直線 \(l _ 0 , l _ 1 , l _ 2 , \cdots\) を以下のように定める.
\(l _ 0\) は直線 \(3x+2y=1\) である.
点 P が \(l _ n\) 上を動くとき, \(f( \text{P} )\) が描く直線を \(l _ {n+1}\) とする（ \(n =0, 1, 2, \cdots\) ）.
(1) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ {n} , b _ {n}\) で表せ.
(2) 不等式 \(a _ {n} x +b _ {n} y \gt 1\) が定める領域を \(D _ n\) とする. \(D _ 0 , D _ 1 , D _ 2 , \cdots\) すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\(f\) に対応する \(2\) 次正方行列を \(A\) とおくと \[ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \] \(l _ n : \ a _ n x +b _ n y =1\) 上の \(2\) 点 \(\left( \dfrac{1}{a _ n} , 0 \right) , \left( 0 , \dfrac{1}{b _ n} \right)\) は, \(f\) によって \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dfrac{1}{a _ n} \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{a _ n} \\ -\dfrac{2}{a _ n} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \dfrac{1}{b _ n} \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{1}{b _ n} \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] の \(2\) 点に移るので, \(l _ {n+1}\) の式は \[\begin{align} \left( \dfrac{3}{a _ n} -\dfrac{1}{b _ n} \right) y -\left( -\dfrac{2}{a _ n} -0 \right) x & = 0 \\ 2 b _ n x +( -a _ n +3 b _ n ) y & = 2 \\ \text{∴} \quad b _ n x +\dfrac{-a _ n +3 b _ n}{2} y & = 1 \end{align}\] よって \[ a _ {n+1} =\underline{b _ n} , \quad b _ {n+1} =\underline{\dfrac{-a _ n +3 b _ n}{2}} \]
(2)
(1) の結果より \[\begin{align} 2 a _ {n+2} -3 a _ {n+1} +a _ n & = 0 \\ \text{∴} \quad 2 a _ {n+2} -a _ {n+1} & = 2 a _ {n+1} -a _ n \end{align}\] これを繰り返し用いれば \[\begin{align} 2 a _ {n+1} -a _ n = 2 b _ 1 -a _ 1 & = 2 \cdot 2 -3 = 1 \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} -1 & = \dfrac{1}{2} ( a _ n -1 ) \end{align}\] したがって, 数列 \(\left\{ a _ n -1 \right\}\) は, 公比 \(\dfrac{1}{2}\) , 初項 \(a _ 1 -1 =3-1 =2\) の等比数列なので \[\begin{align} a _ n -1 & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \cdot 2 = 2^{2-n} \\ \text{∴} \quad a _ n & = 2^{2-n} +1 \end{align}\] 再び (1) の結果を用いて \[ b _ n = a _ {n+1} = 2^{1-n} +1 \] \(l _ n\) の \(x\) 切片 \(\dfrac{1}{a _ n}\) , \(y\) 切片 \(\dfrac{1}{b _ n}\) に着目すると, \(n \geqq 0\) に対して \[\begin{align} \dfrac{1}{3} \leqq \dfrac{1}{a _ n} & = \dfrac{1}{2^{2-n} +1} \lt 1 \\ \dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{1}{b _ n} & = \dfrac{1}{2^{1-n} +1} \lt 1 \end{align}\] また, \(l _ n\) が \(n\) によらず通る点について考えると \[\begin{align} ( 2^{2-n}+1 )x +( 2^{1-n}+1 )y & =1 \\ (2x+y) 2^{1-n} +x+y-1 & = 0 \end{align}\] なので \[\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=0 \\ x+y-1 =0 \end{array} \right. \\ \text{∴} \quad (x,y) = ( -1 , 2 ) \end{align}\] 以上より, 求める領域はすべての \(l _ n\) （ \(n =0, 1, 2, \cdots\) ）に対して上側となる領域で, 下図の斜線部（実線は含み, 破線と○は含まない）.
